৪১ তম বিসিএস প্রশ্নব্যাংক ও ব্যাখ্যাসহ সমাধান (41st BCS Preli Question Bank)

আবার,

$\angle CAD+\angle ACD+\angle CDA=180°$ [ $\because$ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি সমান ১৮০ $°$ ]

বা, $\angle CDA$ = $180°-\left(\angle CAD+\angle ACD\right)$

বা, $\angle CDA$ = $180°-\left(40°+30°\right)$

বা, $\angle CDA$ = $180°-70°$

$\therefore \angle CDA$ = $110°$

$\therefore$ সঠিক উত্তর: $110°$

আবার, 4 জন মহিলা থেকে 2 জন মহিলা নিলে পাই, 4C2=4!2!(4−2)!=4×3×2!2!×2!=4×32×1=122=64C2​=2!(4−2)!4!​=2!×2!4×3×2!​=2×14×3​=212​=6

সুতরাং, কমিটি গঠন করা যাবে = 5C1×4C2=5×6=30 [Ans.]5C1​×4C2​=5×6=30 [Ans.]

$\therefore$ সঠিক উত্তর: 6x

বা, 5x5x (1 + 8 +16) = 1

বা, 5x×255x×25 = 1

বা, 5x5x = 125251​

বা, 5x5x = 152521​

বা, 5x5x = 5−25−2 [ ∵ 1a2=a−2∵ a21​=a−2 ]

$\therefore$ x = -2 [ ∵ ax=ay∵ ax=ay হলে, x = y ]

$\therefore$ সঠিক উত্তর: x = 2

এই গাণিতিক সমস্যাটি আরো এক পদ্ধতি সমাধান করা যায়, নিম্নে তা উপস্থাপন করা হলো:

প্রশ্নানুযায়ী, 5x+8×5x+16×5x5x+8×5x+16×5x = 1

বা, t + 8t + 16t = 1 [ ∵ ধরি, 5x=t∵ ধরি, 5x=t ]

বা, 25t = 1

বা, t = 125251​

বা, 5x5x = 152521​ [ $\because$ t এর মান বসিয়ে ]

বা, 5x5x = 5−25−2 [ ∵ 1a2=a−2∵ a21​=a−2 ]

$\therefore$ x = -2 [ ∵ ax=ay∵ ax=ay হলে, x = y ]

$\therefore$ সঠিক উত্তর: x = 2 “

ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.12
ধারাটির সাধারন অনুপাত, r = 0.00120.12=1100<10.120.0012​=1001​<1

ধারাটি একটি গুণত্তর ধারা। কারণ, ধারাটির সাধারণ অনুপাত একই।

আমরা জানি,

∴ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,S∞=a1−r=0.121−1100=12100100−1100=1210099100=12100×10099=433 [Ans.]∴ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,S∞​​=1−ra​=1−1001​0.12​=100100−1​10012​​=10099​10012​​=10012​×99100​=334​ [Ans.]​

−8×−2−8​×−2​

= 8(−1)×2(−1)8(−1)​×2(−1)​

= 8×i2×2×i2 8×i2​×2×i2​  [ ∵i2∵i2 = -1 ]

= 8×i×2×i8​×i×2​×i

= 16×i216​×i2

= 4 $\times$(-1) [ ∵i2∵i2 = -1 ]

= -4 $\left[\mathbf{Ans}.\right]$

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য “অসমতার” নিম্নের সুত্রটি প্রয়োগ করে খুব সহজেই সমাধান করা যাবে।

∣x∣<a⟹−a<x<a∣x∣<a⟹−a<x<a​

প্রশ্নানুযায়ী, | x – 2 | $<$ 3

এখন, | x – 2 | $<$ 3 কে উপরোক্ত সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

-3 $<$ x – 2 $<$ 3

বা, -3 + 2 $<$ x – 2 + 2 $<$ 3 + 2 [ $\because$ উভয়পক্ষে 2 যোগ করে ]

বা, -1 $<$ x $<$ 5

বা, -3 $<$ 3x $<$ 15 [ $\because$ উভয়পক্ষে 3 গুণ করে ]

বা, -3 + 5 $<$ 3x + 5 $<$ 15 + 5 [ $\because$ উভয়পক্ষে 2 যোগ করে ]

বা, 2 $<$ 3x + 5 $<$ 20

2 $<$ 3x + 5 $<$ 20 কে m$<$ 3x + 5 $<$ n এর সাথে তুলনা করে পাই, m = 2 এবং n = 20

সুতরাং এই গাণিতিক সমস্যাটির সঠিক উত্তর: m = 2, n = 20

এবং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ, W1W1​ = b

তবে, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল, A1A1​ = L1×W1L1​×W1​ = ab বর্গ একক

এখন, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 5% বৃদ্ধি করলে, আয়তক্ষেত্রটির নতুন দৈর্ঘ্য, L2L2​ = a + a এর 5%

বা, L2L2​ = a + a ×5100×1005​

বা, L2L2​ = a + 5a1001005a​

বা, L2L2​ = 100a+5a100100100a+5a​

∴L2∴L2​ = 105a100100105a​

এবং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থের যেহুতু কোনো পরিবর্তন হয় নি, সেহুতু W1W1​ = W2W2​ = b

তবে, নতুন আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল, A2A2​ = L2×W2L2​×W2​ = 105a100×b100105a​×b বর্গ একক

বা, A2A2​ = 105ab100100105ab​ বর্গ একক

∴A2∴A2​ = 105ab% বর্গ একক

পূর্বের আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল, A1A1​ শতকরা = ab বা, 100 বর্গ একক এবং নতুন আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল, A2A2​ শতকরা = 105ab বা, 105 বর্গ একক

$\therefore$ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = (A2−A1)(A2​−A1​) বর্গ একক = (105 – 100) বর্গ একক = 5 বর্গ একক

সুতরাং, সঠিক উত্তর: 5%

৯০ টাকায় চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে ১০ টাকা

$\therefore$ ১ টাকায় চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে ১০৯০৯০১০​ টাকা

$\therefore$ ১০০ টাকায় চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে ১০×১০০৯০৯০১০×১০০​ টাকা = ১০০৯৯১০০​ টাকা = ১১১৯৯১​ টাকা

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ১১১৯৯১​%

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্রের মান হচ্ছে 360$°$। তবে বৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের প্রত্যেক কোণের মান হবে = 360°33360°​ = 120 $°$

আমরা জানি,

ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a, b এবং মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে, ক্ষেত্রফল = 12absin⁡θ21​absinθ বর্গ একক।

এখন, a = 6cm, b = 6cm এবং $\theta$ = 120 $°$ হলে,

ক্ষেত্রফল=12absin⁡θ=12×6×6×sin⁡120°=18×sin⁡(1×90°+30°)=18×cos⁡30°=18×32=93 বর্গ সে.মি.ক্ষেত্রফল​=21​absinθ=21​×6×6×sin120°=18×sin(1×90°+30°)=18×cos30°=18×23​​=93​ বর্গ সে.মি.​

এখন, বৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভুজটির ভিতরের বা অন্তঃস্থ একটির ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হচ্ছে 9393​ বর্গ একক। বৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভুজটির ভিতরের বা অন্তঃস্থ ৩টি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হচ্ছে = (3×93)(3×93​) বর্গ সে.মি.= 273273​ বর্গ সে.মি.।

সুতরাং, বৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 273273​ বর্গ সে.মি.। $\left[\mathbf{Ans}.\right]$

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য ভগ্নাংশ সমূহের মধ্যে তুলনা করতে হবে।

512×613125​×136​ = 65 $<$ 72;        512<613125​<136​

613×1124136​×2411​ = 144 $>$ 143;        613>1124136​>2411​

613×38136​×83​ = 48 $>$ 39;        613>38136​>83​

উপরোক্ত আলোচনার পরিপ্রেক্ষিতে বলা যায়, বড় ভগ্নাংশটি: 613 [Ans.]136​ [Ans.]

এখন,

1a2+1b2=(1a+1b)2−2×1a×1b=(a+bab)2−2×1ab=(712)2−2×112=49144−212=49−24144=25144a21​+b21​​=(a1​+b1​)2−2×a1​×b1​=(aba+b​)2−2×ab1​=(127​)2−2×121​=14449​−122​=14449−24​=14425​​

সঠিক উত্তর: 2514414425​

মূলধন, P = ৮০০ টাঁকা

মুনাফার হার, r = ১০% = ১০১০০১০০১০​

সময়, n = ২ বছর

চক্রবৃদ্ধির মূলধন, C = ?

আমরা জানি, চক্রবৃদ্ধির মূলধন, C = P(1 + r)nn = ৮০০ (১+১০১০০)২(১+১০০১০​)২ = ৮০০ (১০০+১০১০০)২(১০০১০০+১০​)২ = ৮০০ ×১১০১০০×১১০১০০×১০০১১০​×১০০১১০​ = ৯৬৮

সুতরাং, চক্রবৃদ্ধির মূলধন = ৯৬৮ টাঁকা $\left[\mathbf{Ans}.\right]$

= log⁡2log⁡e(e)4log2​loge​​(e​)4

= log⁡24log⁡eelog2​4loge​​e​ [ ∵ log⁡aa2=2log⁡aa∵ loga​a2=2loga​a ]

= log⁡24×1log2​4×1 [ ∵ log⁡aa=1∵ loga​a=1 ]

= log⁡24log2​4

= log⁡222log2​22

= 2log⁡222log2​2 [ ∵ log⁡aa2=2log⁡aa∵ loga​a2=2loga​a ]

= 2 $\times$ 1 [ ∵ log⁡aa=1∵ loga​a=1 ]

= 2 $\left[\mathbf{Ans}.\right]$

আবার, ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত পূর্ণবর্গ সংখ্যা রয়েছে ২০টি। কারণ, ২১ নিলে ২১২২=৪৪১ যা ৪৪০ এর চেয়ে বেশি। তাই, ২০২২ = ৪০০।

$\therefore$ সংখ্যাটি বর্গ বা পূর্ণবর্গ হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকুল ফলাফলমোট ফলাফল=২০৪৪০=১২২মোট ফলাফলঅনুকুল ফলাফল​=৪৪০২০​=২২১​

$\therefore$ সঠিক উত্তর: ১২২২২১​