গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

বর্গ ও ঘনের সূত্র এবং প্রয়োগ

Settle in, explore the ideas, then put them to work with practice questions.

31 মিনিটের পড়া View the full track
সূচিপত্র

শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষার বীজগণিত অংশে সবচেয়ে বেশি প্রশ্ন আসে এই অধ্যায় থেকে। প্রায় সব প্রশ্নের ধরন একই: দুটি রাশির যোগফল, অন্তর বা গুণফল দেওয়া থাকে, আর সূত্র বসিয়ে অন্য একটি রাশির মান বের করতে হয়। সূত্রগুলো মুখস্থ থাকলে এবং \(x + \dfrac{1}{x}\) ধরনের রাশির কৌশল জানা থাকলে প্রতিটি প্রশ্ন এক-দুই লাইনে শেষ হয়। উৎপাদকের সূত্রগুলো দেখে নিতে পারেন উৎপাদকে বিশ্লেষণ অধ্যায়ে।

বর্গের সূত্র

  • \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a - b)^2 + 4ab\)
  • \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a + b)^2 - 4ab\)
  • \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (a - b)^2 + 2ab\)
  • \(4ab = (a + b)^2 - (a - b)^2\)
  • \(2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2\)
  • \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
  • \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)\)

ঘনের সূত্র

  • \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)\)
  • \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)\)
  • \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
  • \(a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
  • \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\); তাই \(a + b + c = 0\) হলে \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\)।

x ও 1/x সম্বলিত রাশির কৌশল

উপরের সূত্রে \(a = x\) ও \(b = \dfrac{1}{x}\) বসালে \(ab = 1\) হয়, তাই সূত্রগুলো আরও ছোট হয়ে যায়:

  • \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 + 2\)
  • \(\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 4\)
  • \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)\)
  • \(x^3 - \dfrac{1}{x^3} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \dfrac{1}{x}\right)\)
  • \(x^4 + \dfrac{1}{x^4} = \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^2 - 2\)

ভগ্নাংশের কৌশল: \(\dfrac{x}{x^2 + kx + 1}\) ধরনের রাশিতে লব ও হরকে \(x\) দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায় \(\dfrac{1}{x + k + \dfrac{1}{x}}\)। এখানে \(x + \dfrac{1}{x}\)-এর মান বসালেই উত্তর। \(x^2 - 3x + 1 = 0\) ধরনের সমীকরণ দেওয়া থাকলেও দুই পাশকে \(x\) দিয়ে ভাগ করুন: \(x - 3 + \dfrac{1}{x} = 0\), অর্থাৎ \(x + \dfrac{1}{x} = 3\)।

পূর্ণবর্গ বানানোর নিয়ম

  • \(a^2 + b^2\)-এর সাথে \(2ab\) যোগ করলে \((a + b)^2\) হয়। যেমন, \(9x^2 + 16y^2 = (3x)^2 + (4y)^2\), তাই যোগ করতে হবে \(2 \times 3x \times 4y = 24xy\)।
  • \(a^2 + 2ab\)-এর সাথে \(b^2\) যোগ করলে পূর্ণবর্গ হয়। যেমন, \(4x^2 - 20x = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 5\), তাই যোগ করতে হবে \(5^2 = 25\)।
  • \(ax^2 + bx + c\) পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত \(b^2 = 4ac\)। যেমন, \(4x^2 - px + 9\) পূর্ণবর্গ হলে \(p^2 = 4 \times 4 \times 9 = 144\), অর্থাৎ \(p = 12\)।

সমাধানকৃত উদাহরণ

  1. \(a + b = 8\) ও \(a - b = 2\) হলে \(ab\) কত? উত্তর: 15। \(4ab = 8^2 - 2^2 = 60\)।
  2. \(x - y = 2\) ও \(xy = 24\) হলে \(x + y\) কত? উত্তর: \(\pm 10\)। \((x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 4 + 96 = 100\)।
  3. \(a^2 + b^2 = 25\) ও \(ab = 12\) হলে \(a + b\) কত? উত্তর: 7 (ধনাত্মক মান)। \((a + b)^2 = 25 + 24 = 49\)।
  4. \(x - \dfrac{1}{x} = 3\) হলে \(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\) কত? উত্তর: 119। \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 9 + 2 = 11\), তারপর \(11^2 - 2 = 119\)।
  5. \(x^2 - 3x + 1 = 0\) হলে \(x^2 - \dfrac{1}{x^2}\) কত? উত্তর: \(\pm 3\sqrt{5}\)। \(x + \dfrac{1}{x} = 3\) এবং \(\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = 9 - 4 = 5\), তাই \(x^2 - \dfrac{1}{x^2} = 3 \times (\pm\sqrt{5})\)।
  6. \(a + b + c = 9\) ও \(a^2 + b^2 + c^2 = 29\) হলে \(ab + bc + ca\) কত? উত্তর: 26। \(81 = 29 + 2(ab + bc + ca)\)।
  7. \(x + \dfrac{2}{x} = 3\) হলে \(x^3 + \dfrac{8}{x^3}\) কত? উত্তর: 9। \(a = x\), \(b = \dfrac{2}{x}\) হলে \(ab = 2\); \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = 27 - 18\)।
  8. \(x = 15\) ও \(y = 5\) হলে \(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\) কত? উত্তর: 1000। রাশিটি \((x - y)^3 = 10^3\)।
  9. \(x + \dfrac{1}{x} = 5\) হলে \(\dfrac{x}{x^2 + x + 1}\) কত? উত্তর: \(\dfrac{1}{6}\)। লব-হরকে \(x\) দিয়ে ভাগ করলে \(\dfrac{1}{x + 1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{1}{5 + 1}\)।
  10. \(16x^2 + px + 25\) পূর্ণবর্গ হলে \(p\)-এর ধনাত্মক মান কত? উত্তর: 40। \(16x^2 = (4x)^2\) ও \(25 = 5^2\), তাই মাঝের পদ হবে \(2 \times 4x \times 5 = 40x\)। একই উত্তর আসে \(p^2 = 4 \times 16 \times 25 = 1600\) থেকেও।

অনুশীলনী

নিচের প্রতিটি প্রশ্নের সঙ্গে ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা দেওয়া আছে।

কলেজ পর্যায়

  1. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + y + z = 7\) এবং \(xy + yz + zx = 10\) হলে \(x^2 + y^2 + z^2\) এর মান-

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx) = 7^2 - 2 \times 10 = 49 - 20 = 29\)।

  2. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x^2 - 3x + 1 = 0\) হলে \(\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^4\) এর মান-

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x \neq 0\), তাই দুই পাশকে \(x\) দিয়ে ভাগ করি: \(x - 3 + \dfrac{1}{x} = 0\), অর্থাৎ \(x + \dfrac{1}{x} = 3\)।
    \(\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 4 = 9 - 4 = 5\)।
    ∴ \(\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^4 = 5^2 = 25\)।

  3. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(a + b = \sqrt{7}\), \(a - b = \sqrt{3}\) হলে \(5ab\) এর মান-

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(4ab = (a + b)^2 - (a - b)^2 = 7 - 3 = 4\), তাই \(ab = 1\)।
    ∴ \(5ab = 5\)।

  4. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x - \dfrac{1}{x} = 6\) হলে \(\dfrac{x}{x^2 + 7x - 1}\) এর মান-

    ব্যাখ্যা দেখুন

    লব ও হরকে \(x\) দিয়ে ভাগ করি: \(\dfrac{1}{x + 7 - \dfrac{1}{x}} = \dfrac{1}{\left(x - \dfrac{1}{x}\right) + 7}\)।
    \(= \dfrac{1}{6 + 7} = \dfrac{1}{13}\)।

  5. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x - y = 3\) হলে \(x^3 - y^3 - 9xy\) এর মান-

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^3 - y^3 = (x - y)^3 + 3xy(x - y) = 27 + 3xy \times 3 = 27 + 9xy\)।
    ∴ \(x^3 - y^3 - 9xy = 27 + 9xy - 9xy = 27\)।

  6. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x - y = 2\) এবং \(xy = 24\) হলে \(x + y\) এর মান-

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 4 + 96 = 100\)।
    ∴ \(x + y = \pm 10\)।

  7. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    m এর মান কত হলে \(x^2 + x - m\) একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^2 + x = x^2 + 2 \times x \times \dfrac{1}{2}\), তাই পূর্ণবর্গ হতে যোগ করতে হবে \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\)।
    অর্থাৎ \(-m = \dfrac{1}{4}\), বা \(m = -\dfrac{1}{4}\)। তখন \(x^2 + x + \dfrac{1}{4} = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2\)।

  8. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x - \dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2}\) হলে, \(x^3 - \dfrac{1}{x^3}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^3 - \dfrac{1}{x^3} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{27}{8} + \dfrac{9}{2}\)।
    \(= \dfrac{27}{8} + \dfrac{36}{8} = \dfrac{63}{8}\)।

  9. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(9p^2 + 14p\) সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(9p^2 + 14p = (3p)^2 + 2 \times 3p \times \dfrac{7}{3}\)।
    পূর্ণবর্গ হতে যোগ করতে হবে \(\left(\dfrac{7}{3}\right)^2 = \dfrac{49}{9}\); তখন রাশিটি \(\left(3p + \dfrac{7}{3}\right)^2\)।

  10. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(m - n = x\) এবং \(mn = 6x^2\) হলে \(m^3 - n^3\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(m^3 - n^3 = (m - n)^3 + 3mn(m - n) = x^3 + 3 \times 6x^2 \times x = x^3 + 18x^3 = 19x^3\)।

  11. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x - \dfrac{1}{x} = 5\) হলে \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 + 4 = 25 + 4 = 29\)।

  12. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 3\) হলে \(\dfrac{x^6 + 1}{x^3}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(\dfrac{x^6 + 1}{x^3} = x^3 + \dfrac{1}{x^3}\)।
    \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2 = 5\), তাই \(x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{5}\) (ধনাত্মক মান নিয়ে)।
    \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = (\sqrt{5})^3 - 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}\)। (ঋণাত্মক মান নিলে \(-2\sqrt{5}\), যা বিকল্পে নেই।)

  13. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    প্রথম p সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(1 = 1^2\), \(1 + 3 = 4 = 2^2\), \(1 + 3 + 5 = 9 = 3^2\)। অর্থাৎ প্রথম p টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল \(p^2\)।
    সমান্তর ধারার সূত্রেও: \(\dfrac{p}{2}\{1 + (2p - 1)\} = p^2\)।

  14. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x^2 + y^2 = 18\) এবং \(xy = 7\) হলে \((x - y)^2\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 18 - 14 = 4\)।

  15. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^3}}\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    ভেতরের অংশ: \(\sqrt[3]{a^3} = a\)।
    ∴ \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\)।

  16. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + \dfrac{1}{x} = 4\) হলে \(\dfrac{x}{x^2 - 3x + 1}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    লব ও হরকে \(x\) দিয়ে ভাগ করলে \(\dfrac{1}{x - 3 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{1}{\left(x + \dfrac{1}{x}\right) - 3} = \dfrac{1}{4 - 3} = 1\)।

  17. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    হরকে মূলদ করতে লব ও হরকে \(\sqrt{6} - 2\) দিয়ে গুণ করি:
    \(\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2)}{6 - 4} = \dfrac{\sqrt{12} - 2\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)।

  18. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + \dfrac{1}{x} = 5\) হলে, \(\dfrac{x}{x^2 + x + 1}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    লব ও হরকে \(x\) দিয়ে ভাগ করলে \(\dfrac{1}{x + 1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{1}{5 + 1} = \dfrac{1}{6}\)।

  19. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x = 1 + \sqrt{3}\) হলে, \(x^3\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^2 = (1 + \sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}\)।
    \(x^3 = (4 + 2\sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 6 = 10 + 6\sqrt{3}\)।

  20. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    যদি \(a + b + c = 5\) এবং \(a^2 + b^2 + c^2 = 9\) হয়, তবে \(ab + bc + ca\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)\)।
    \(25 = 9 + 2(ab + bc + ca)\), তাই \(ab + bc + ca = 8\)।

  21. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    যদি \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 38\) হয়, তবে \(x - \dfrac{1}{x}\) = ?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2 = 38 - 2 = 36\)।
    ∴ \(x - \dfrac{1}{x} = \pm 6\)।

  22. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(a + b = 17\) এবং \(ab = 60\) হলে; \((a - b)^2\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 289 - 240 = 49\)।

  23. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x - \dfrac{1}{x} = 7\) হলে, \(x^3 - \dfrac{1}{x^3}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^3 - \dfrac{1}{x^3} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \dfrac{1}{x}\right) = 343 + 21 = 364\)।

  24. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x - \dfrac{1}{x} = 1\) হলে \(x^3 - \dfrac{1}{x^3}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^3 - \dfrac{1}{x^3} = 1^3 + 3 \times 1 = 4\)।

  25. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + y = 7\) এবং \(xy = 10\) হলে, \((x - y)^2\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 49 - 40 = 9\)।

  26. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{2}\) হলে, \(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\) = ?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = 2 - 2 = 0\)।
    \(x^4 + \dfrac{1}{x^4} = \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^2 - 2 = 0 - 2 = -2\)।
    (বাস্তব সংখ্যায় \(x + \dfrac{1}{x}\)-এর মান 2-এর কম হতে পারে না, তাই এমন x আসলে জটিল সংখ্যা; পরীক্ষায় সূত্র প্রয়োগ করেই উত্তর দিতে হয়।)

  27. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + y = 2\), \(x^2 + y^2 = 4\) হলে, \(x^3 + y^3\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2) = 4 - 4 = 0\), তাই \(xy = 0\)।
    \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) = 8 - 0 = 8\)।

  28. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(\dfrac{ab + b^2}{ab} \div \dfrac{a + b}{a}\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(\dfrac{b(a + b)}{ab} \times \dfrac{a}{a + b} = \dfrac{ab(a + b)}{ab(a + b)} = 1\)।

  29. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \((\sqrt{3} \times \sqrt{5})^4\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((\sqrt{15})^4 = \left((\sqrt{15})^2\right)^2 = 15^2 = 225\)।

  30. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(4a^2 + 9b^2\) রাশিটির সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(4a^2 + 9b^2 = (2a)^2 + (3b)^2\)। পূর্ণবর্গ হতে যোগ করতে হবে \(2 \times 2a \times 3b = 12ab\)।
    তখন রাশিটি \((2a + 3b)^2\)।

  31. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x = \sqrt{3} + \sqrt{2}\) হলে, \(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)।
    \(x + \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{3}\), তাই \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 12 - 2 = 10\)।

  32. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x - y = 1\), \(xy = 56\) হলে \(x + y\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 1 + 224 = 225\), তাই \(x + y = \pm 15\)।
    বিকল্পে আছে 15 (যেমন \(x = 8, y = 7\))।

  33. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x = 3 + 2\sqrt{2}\) হলে \(x^{-1}\) এর সঠিক মান হবে-

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1\)।
    ∴ \(x^{-1} = \dfrac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}\)।

  34. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x - \dfrac{1}{x} = 3\) হলে, \(x^3 - \dfrac{1}{x^3}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^3 - \dfrac{1}{x^3} = 3^3 + 3 \times 3 = 27 + 9 = 36\)।
    36 বিকল্পে নেই, তাই উত্তর "কোনোটিই নয়"।

  35. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + \dfrac{1}{x} = 2\) হলে \(\dfrac{x}{x^2 - x + 1}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    লব ও হরকে \(x\) দিয়ে ভাগ করলে \(\dfrac{1}{x - 1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{1}{2 - 1} = 1\)।

স্কুল পর্যায়

  1. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x = \sqrt{5} + \sqrt{4}\) হলে, \(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x = \sqrt{5} + 2\), তাই \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2\)।
    \(x + \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{5}\), ∴ \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 20 - 2 = 18\)।

  2. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    যদি \(a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 51\) হয়, তবে \(\left(a - \dfrac{1}{a}\right)\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(\left(a - \dfrac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \dfrac{1}{a^2} - 2 = 51 - 2 = 49\)।
    ∴ \(a - \dfrac{1}{a} = \pm 7\)।

  3. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(4x^2 - 20x\) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(4x^2 - 20x = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 5\)।
    পূর্ণবর্গ হতে যোগ করতে হবে \(5^2 = 25\); তখন রাশিটি \((2x - 5)^2\)।

  4. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(ax^2 + b\) এর মান \(x = 1\) হলে 1 এবং \(x = 3\) হলে 25 হয়। \(x = 2\) হলে এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x = 1\) বসালে \(a + b = 1\), আর \(x = 3\) বসালে \(9a + b = 25\)।
    বিয়োগ করলে \(8a = 24\), তাই \(a = 3\) এবং \(b = -2\)।
    ∴ \(x = 2\) হলে মান \(3 \times 4 - 2 = 10\)।

  5. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    যদি \(x + \dfrac{1}{x} = -5\) হয়, তবে \(\dfrac{x}{x^2 + x + 1}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    লব ও হরকে \(x\) দিয়ে ভাগ করলে \(\dfrac{1}{x + 1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{1}{-5 + 1} = -\dfrac{1}{4}\)।

  6. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\), \(x + y - z = 8\) হলে \(yz + zx - xy\) এর মান-

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((x + y - z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2yz - 2zx\)।
    \(64 = 4 + 2(xy - yz - zx)\), তাই \(xy - yz - zx = 30\)।
    ∴ \(yz + zx - xy = -30\)।

  7. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x - 2 = \sqrt{3}\) হলে \(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x = 2 + \sqrt{3}\), তাই \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}\) এবং \(x + \dfrac{1}{x} = 4\)।
    \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 16 - 2 = 14\), ∴ \(x^4 + \dfrac{1}{x^4} = 14^2 - 2 = 194\)।

  8. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(6 - x - \dfrac{9}{x} = 0\) হলে \(x^2 \div (x^2 - x - 3)\) এর মান-

    ব্যাখ্যা দেখুন

    দুই পাশকে \(x\) দিয়ে গুণ করলে \(6x - x^2 - 9 = 0\), অর্থাৎ \(x^2 - 6x + 9 = 0\) বা \((x - 3)^2 = 0\), তাই \(x = 3\)।
    ∴ \(x^2 \div (x^2 - x - 3) = 9 \div (9 - 3 - 3) = 9 \div 3 = 3\)।

  9. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x - \dfrac{1}{x} = 3\) হলে, \(\dfrac{x^4 + 1}{x^2}\) এর মান-

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(\dfrac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 + 2 = 9 + 2 = 11\)।

  10. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + y = 3\), \(x - y = 1\) হলে, \(4xy\) এর মান-

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(4xy = (x + y)^2 - (x - y)^2 = 9 - 1 = 8\)।

  11. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(a = \sqrt{6} + \sqrt{5}\) হলে, \(\dfrac{a^6 - 1}{a^3}\) এর মান নির্ণয় কর।

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(\dfrac{a^6 - 1}{a^3} = a^3 - \dfrac{1}{a^3}\)। \(\dfrac{1}{a} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5} = \sqrt{6} - \sqrt{5}\), তাই \(a - \dfrac{1}{a} = 2\sqrt{5}\)।
    \(a^3 - \dfrac{1}{a^3} = (2\sqrt{5})^3 + 3 \times 2\sqrt{5} = 40\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 46\sqrt{5}\)।

  12. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    যদি \(a^3 - b^3 = 513\) এবং \(a - b = 3\) হয়, তবে ab এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)\), তাই \(513 = 27 + 9ab\)।
    ∴ \(9ab = 486\), \(ab = 54\)।

  13. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    a-এর মান কত হলে \(9 - 12x + ax^2\) একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(9 - 12x = 3^2 - 2 \times 3 \times 2x\), তাই পূর্ণবর্গ হতে শেষ পদ হবে \((2x)^2 = 4x^2\)।
    ∴ \(a = 4\), আর রাশিটি \((3 - 2x)^2\)।

  14. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(9x^2 + 16y^2\) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(9x^2 + 16y^2 = (3x)^2 + (4y)^2\)। যোগ করতে হবে \(2 \times 3x \times 4y = 24xy\), তখন রাশিটি \((3x + 4y)^2\)।

  15. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কী কী?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    বর্গ দুটির সমষ্টি 61 ও অন্তর 11 হলে বড় বর্গ \((61 + 11) \div 2 = 36\) এবং ছোট বর্গ \((61 - 11) \div 2 = 25\)।
    ∴ সংখ্যা দুটি 6 ও 5 (যাচাই: \(36 + 25 = 61\), \(36 - 25 = 11\))।

  16. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি \(\sqrt{3}\)। ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন-এর গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    সংখ্যাটি x হলে \(x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{3}\)।
    \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0\)।

  17. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^2 = 3\) হলে, \(a^3 + \dfrac{1}{a^3}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(a + \dfrac{1}{a} = \pm\sqrt{3}\)।
    \(a^3 + \dfrac{1}{a^3} = \left(a + \dfrac{1}{a}\right)\left\{\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^2 - 3\right\} = (\pm\sqrt{3})(3 - 3) = 0\)।

  18. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    4ab এর সঠিক প্রয়োগ কোনটি?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab\)।
    ঘ বিকল্পের মান ab (4ab নয়), আর গ বিকল্পের মান \(a^2 + b^2\)।

  19. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(a + \dfrac{1}{a} = 3\) হলে \(a^3 + \dfrac{1}{a^3}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(a^3 + \dfrac{1}{a^3} = 3^3 - 3 \times 3 = 27 - 9 = 18\)।

  20. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 199 হলে বড় সংখ্যাটি কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    সংখ্যা দুটি n ও \(n + 1\) হলে \((n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 = 199\), তাই \(n = 99\)।
    ∴ বড় সংখ্যাটি 100। (ক্রমিক দুটি সংখ্যার বর্গের অন্তর = তাদের যোগফল: \(100 + 99 = 199\)।)

  21. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + y = 12\) এবং \(x - y = 2\) হলে xy এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(4xy = (x + y)^2 - (x - y)^2 = 144 - 4 = 140\), তাই \(xy = 35\)।
    (সরাসরি: \(x = 7\), \(y = 5\)।)

  22. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + \dfrac{1}{x} = 2\) হলে, \(x^5 + \dfrac{1}{x^5}\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x + \dfrac{1}{x} = 2\) থেকে \(x^2 - 2x + 1 = 0\), অর্থাৎ \((x - 1)^2 = 0\), তাই \(x = 1\)।
    ∴ \(x^5 + \dfrac{1}{x^5} = 1 + 1 = 2\)।

  23. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(2x + \dfrac{2}{x} = 3\) হলে, \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 2\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    2 দিয়ে ভাগ করলে \(x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2}\)।
    \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \dfrac{27}{8} - 3 \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{27}{8} - \dfrac{36}{8} = -\dfrac{9}{8}\)।
    ∴ \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 2 = -\dfrac{9}{8} + \dfrac{16}{8} = \dfrac{7}{8}\)।

  24. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + y = 8\) এবং \(x - y = 2\) হলে, \(2x^2 + 2y^2\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(2(x^2 + y^2) = (x + y)^2 + (x - y)^2 = 64 + 4 = 68\)।

  25. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(a + b = 3\) এবং \(ab = 3\) হলে, \(a^3 + b^3\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = 27 - 3 \times 3 \times 3 = 27 - 27 = 0\)।

  26. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(a + b = 9p\), \(ab = 18p^2\) হলে, \((a - b)\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 81p^2 - 72p^2 = 9p^2\)।
    ∴ \(a - b = 3p\) (a বড় ধরে; সংখ্যা দুটি 6p ও 3p)।

  27. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + y = 3\) এবং \(xy = 1\) হলে, \(x^3 + y^3 + 3xy\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) = 27 - 9 = 18\)।
    ∴ \(x^3 + y^3 + 3xy = 18 + 3 = 21\)।

স্কুল পর্যায়-২

  1. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + y = 3\), \(x^2 + y^2 = 5\) হলে, \(x^3 + y^3\) = ?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2) = 9 - 5 = 4\), তাই \(xy = 2\)।
    \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) = 27 - 18 = 9\)।

  2. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(p + q = \sqrt{3}\) এবং \(p - q = \sqrt{2}\) হলে, pq = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(4pq = (p + q)^2 - (p - q)^2 = 3 - 2 = 1\)।
    ∴ \(pq = \dfrac{1}{4}\)।

  3. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \((x^2 + 1)^2 = 5x^2\) হলে \(x - \dfrac{1}{x}\) এর মান কোনটি?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    দুই পাশকে \(x^2\) দিয়ে ভাগ করলে \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = 5\)।
    \(\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 4 = 5 - 4 = 1\), তাই \(x - \dfrac{1}{x} = \pm 1\); বিকল্পে আছে 1।

  4. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = 1\) হলে, \(a^3 + b^3\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(ab\) দিয়ে গুণ করলে \(a^2 + b^2 = ab\), অর্থাৎ \(a^2 - ab + b^2 = 0\)।
    ∴ \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b) \times 0 = 0\)।

  5. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x^2 - 2x - 1 = 0\) হলে, \(x + \dfrac{1}{x}\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x\) দিয়ে ভাগ করলে \(x - 2 - \dfrac{1}{x} = 0\), অর্থাৎ \(x - \dfrac{1}{x} = 2\)।
    \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 + 4 = 4 + 4 = 8\), তাই \(x + \dfrac{1}{x} = \pm 2\sqrt{2}\)।
    \(x = 1 + \sqrt{2}\) মূলটির জন্য মান \(2\sqrt{2}\), যা বিকল্পে আছে।

  6. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(\dfrac{x}{y}\) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল \(\dfrac{y}{x}\) হবে?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    যোগ করতে হবে \(\dfrac{y}{x} - \dfrac{x}{y} = \dfrac{y^2 - x^2}{xy}\)।

  7. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x^4 - x^2 - 1 = 0\) হলে \(x^2 - \dfrac{1}{x^2}\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    দুই পাশকে \(x^2\) দিয়ে ভাগ করলে \(x^2 - 1 - \dfrac{1}{x^2} = 0\)।
    ∴ \(x^2 - \dfrac{1}{x^2} = 1\)।

  8. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{3}\) হলে \(x^3 + \dfrac{1}{x^3}\) এর মান কোনটি?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = (\sqrt{3})^3 - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0\)।

  9. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(4x^2 + 9y^2\) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((2x)^2 + (3y)^2\)-এর সাথে \(2 \times 2x \times 3y = 12xy\) যোগ করলে \((2x + 3y)^2\) হয়।

  10. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{3}\) হলে \(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = 3 - 2 = 1\)।

  11. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(a = 3^{\frac{1}{3}} + 3^{-\frac{1}{3}}\) হলে \(3a^3 - 9a + 1\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(p = 3^{\frac{1}{3}}\) ও \(q = 3^{-\frac{1}{3}}\) হলে \(pq = 1\), \(p^3 = 3\), \(q^3 = \dfrac{1}{3}\)।
    \(a^3 = (p + q)^3 = p^3 + q^3 + 3pq(p + q) = 3 + \dfrac{1}{3} + 3a\)।
    3 দিয়ে গুণ করলে \(3a^3 = 10 + 9a\), অর্থাৎ \(3a^3 - 9a = 10\)।
    ∴ \(3a^3 - 9a + 1 = 11\)।

  12. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(a^2 - b^2 = 8\) এবং \(ab = 3\) হলে \(a^2 + b^2\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \((a^2 + b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2 = 64 + 4 \times 9 = 100\)।
    \(a^2 + b^2\) দুটি বর্গের যোগফল, তাই ঋণাত্মক হতে পারে না। ∴ \(a^2 + b^2 = 10\), \(\pm 10\) নয়।
    যাচাই: \(a = 3\), \(b = 1\) নিলে \(9 - 1 = 8\), \(ab = 3\) এবং \(9 + 1 = 10\)।

  13. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + y = 2\), \(x^2 + y^2 = 4\) হলে \(x^3 + y^3\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(2xy = 4 - 4 = 0\), তাই \(xy = 0\)।
    \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) = 8 - 0 = 8\)।

  14. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    যদি \(f(x) = x^3 + 9x^2 - 3x - 6\) হয়, তবে \(f(-2)\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(f(-2) = (-2)^3 + 9(-2)^2 - 3(-2) - 6 = -8 + 36 + 6 - 6 = 28\)।

  15. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + y = 2\) এবং \(x^2 + y^2 = 4\) হলে, \(x^3 + y^3\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(xy = \dfrac{(x + y)^2 - (x^2 + y^2)}{2} = 0\)।
    \(x^3 + y^3 = 2^3 - 3 \times 0 \times 2 = 8\)।

  16. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{5}\) হলে, \(x^3 + \dfrac{1}{x^3}\) = ?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = (\sqrt{5})^3 - 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}\)।

  17. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(\dfrac{x}{y}\) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল \(\dfrac{2y}{x}\) হবে?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    যোগ করতে হবে \(\dfrac{2y}{x} - \dfrac{x}{y} = \dfrac{2y^2 - x^2}{xy}\)।

  18. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    P এর মান কত হলে \(4x^2 - px + 9\) একটি পূর্ণবর্গ হবে?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(4x^2 = (2x)^2\) ও \(9 = 3^2\), তাই মাঝের পদ \(2 \times 2x \times 3 = 12x\) হলে রাশিটি \((2x - 3)^2\) হয়।
    ∴ \(p = 12\)।

  19. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) হলে, \(f(2)\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(f(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 0\)। অর্থাৎ \((x - 2)\) রাশিটির একটি উৎপাদক।

  20. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(a + b = \sqrt{7}\) এবং \(a - b = \sqrt{5}\) হলে, \(8ab(a^2 + b^2)\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(4ab = 7 - 5 = 2\), তাই \(ab = \dfrac{1}{2}\)।
    \(a^2 + b^2 = \dfrac{(a + b)^2 + (a - b)^2}{2} = \dfrac{7 + 5}{2} = 6\)।
    ∴ \(8ab(a^2 + b^2) = 8 \times \dfrac{1}{2} \times 6 = 24\)।

  21. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(a = \sqrt{3} + \sqrt{2}\) হলে, \(a^3 + 3a + 3a^{-1} + a^{-3}\) এর মান কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    রাশিটি \(\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^3\), কারণ \(\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^3 = a^3 + 3a + \dfrac{3}{a} + \dfrac{1}{a^3}\)।
    \(\dfrac{1}{a} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\), তাই \(a + \dfrac{1}{a} = 2\sqrt{3}\)।
    ∴ মান \(= (2\sqrt{3})^3 = 24\sqrt{3}\)।

  22. গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা

    \(\sqrt{m} + \dfrac{1}{\sqrt{m}} = 2\) হলে, \(\sqrt{m} - \dfrac{1}{\sqrt{m}}\) = কত?

    ব্যাখ্যা দেখুন

    \(\left(\sqrt{m} - \dfrac{1}{\sqrt{m}}\right)^2 = \left(\sqrt{m} + \dfrac{1}{\sqrt{m}}\right)^2 - 4 = 4 - 4 = 0\)।
    ∴ \(\sqrt{m} - \dfrac{1}{\sqrt{m}} = 0\) (এখানে \(m = 1\))।