সংখ্যার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু.-এর নিয়মই বীজগাণিতিক রাশিতে খাটে; পার্থক্য শুধু এই যে এখানে আগে রাশিগুলোকে উৎপাদকে ভাঙতে হয়। সংখ্যার নিয়ম দেখে নিতে পারেন ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. অধ্যায়ে, আর উৎপাদকে বিশ্লেষণের পদ্ধতি উৎপাদকে বিশ্লেষণ অধ্যায়ে।
সংজ্ঞা ও নিয়ম
গ.সা.গু. (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক): দুই বা ততোধিক রাশির সব সাধারণ উৎপাদকের গুণফল। ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক): যে ক্ষুদ্রতম রাশি প্রতিটি রাশি দিয়ে বিভাজ্য।
- সাংখ্যিক সহগগুলোর গ.সা.গু. বা ল.সা.গু. পাটিগণিতের নিয়মে বের করুন।
- প্রতিটি রাশিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
- গ.সা.গু.: যে উৎপাদক সব রাশিতে আছে, তার সর্বনিম্ন ঘাত নিন।
- ল.সা.গু.: যেকোনো রাশিতে থাকা প্রতিটি উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত নিন।
- কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকলে গ.সা.গু. 1।
দুটি রাশির ক্ষেত্রে: রাশি দুটির গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.।
সমাধানকৃত উদাহরণ
- \(4x^2y^7\) ও \(6x^3y^4\)-এর গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. কত? উত্তর: গ.সা.গু. \(2x^2y^4\), ল.সা.গু. \(12x^3y^7\)। সহগ 4 ও 6-এর গ.সা.গু. 2 ও ল.সা.গু. 12; x-এর সর্বনিম্ন ঘাত 2, সর্বোচ্চ 3; y-এর সর্বনিম্ন 4, সর্বোচ্চ 7।
- \(a(a + b)\), \(ab(a + b)\) ও \(a(a + b)^2\)-এর গ.সা.গু. কত? উত্তর: \(a(a + b)\)। তিনটিতেই a ও \((a + b)\) আছে, দুটিরই সর্বনিম্ন ঘাত 1।
- \(x^3 - x - 24\) ও \(x^3 - 6x^2 + 18x - 27\)-এর গ.সা.গু. কত? উত্তর: \(x - 3\)। দুটিতেই \(x = 3\) বসালে মান শূন্য হয়: প্রথমটি \((x - 3)(x^2 + 3x + 8)\), দ্বিতীয়টি \((x - 3)(x^2 - 3x + 9)\)।
- \(x^3 + 1\) ও \(x^2 - 1\)-এর গ.সা.গু. কত? উত্তর: \(x + 1\)। \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)\) এবং \(x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\)।
- দুটি রাশির ল.সা.গু. \(a^2b(a + b)\) ও গ.সা.গু. \(a(a + b)\)। একটি রাশি \(a^3 + a^2b\) হলে অপরটি কত? উত্তর: \(a^2b + ab^2\)। অপর রাশি = \(\dfrac{a^2b(a + b) \times a(a + b)}{a^2(a + b)} = ab(a + b)\)।
- \(x^3 - 1\), \(x^3 + 1\) ও \(x^4 + x^2 + 1\)-এর ল.সা.গু. কত? উত্তর: \(x^6 - 1\)। তিনটির উৎপাদক \((x - 1)\), \((x + 1)\), \((x^2 + x + 1)\), \((x^2 - x + 1)\), যাদের গুণফল \((x^3 - 1)(x^3 + 1)\)।
অনুশীলনী
নিচের প্রতিটি প্রশ্নের সঙ্গে ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা দেওয়া আছে।
কলেজ পর্যায়
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(x^2 - 3x\), \(x^2 - 9\) এবং \(x^2 - 4x + 3\) বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু কত হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(x^2 - 3x = x(x - 3)\), \(x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)\), \(x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\)।
তিনটিতেই আছে কেবল \((x - 3)\)। ∴ গ.সা.গু. \(x - 3\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(x^2 - 4\), \(x^2 + 4x + 4\), \(x^3 - 8\) বীজগাণিতিক রাশির ল. সা. গু কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\), \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\), \(x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\)।
প্রতিটি উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত নিলে ল.সা.গু. \(= (x + 2)^2(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = (x + 2)^2(x^3 - 8)\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\((a + b)\), \(a^2 - b^2\), \(a^3 - b^3\) এর গ. সা. গু. কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) এবং \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)।
\((a + b)\) তৃতীয় রাশিতে নেই, আবার \((a - b)\) প্রথম রাশিতে নেই। তিনটির কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই গ.সা.গু. 1। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(16 - 4x^2\) এবং \(6x^2 + 24x + 24\) এর গ. সা. গু কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(16 - 4x^2 = 4(4 - x^2) = 4(2 + x)(2 - x)\)।
\(6x^2 + 24x + 24 = 6(x^2 + 4x + 4) = 6(x + 2)^2\)।
সহগ 4 ও 6-এর গ.সা.গু. 2, আর সাধারণ উৎপাদক \((x + 2)\)। ∴ গ.সা.গু. \(2(x + 2)\)।
স্কুল পর্যায়
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(18(x + y)^3\), \(24(x + y)^2\) এবং \(32(x^2 - y^2)\) এর গ.সা.গু কোনটি?
ব্যাখ্যা দেখুন
সহগ 18, 24 ও 32-এর গ.সা.গু. 2।
তৃতীয় রাশি \(32(x + y)(x - y)\); তিনটিতেই আছে \((x + y)\), যার সর্বনিম্ন ঘাত 1।
∴ গ.সা.গু. \(2(x + y)\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(x^3 - 1\), \(x^3 + 1\), \(x^4 + x^2 + 1\) এর ল. সা. গু. কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\), \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)\), \(x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)\)।
ল.সা.গু. \(= (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = x^6 - 1\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(a^2 - 3a\), \(a^3 - 9a\) এবং \(a^3 - 4a^2 + 3a\) এর গ. সা. গু = ?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(a^2 - 3a = a(a - 3)\)
\(a^3 - 9a = a(a^2 - 9) = a(a + 3)(a - 3)\)
\(a^3 - 4a^2 + 3a = a(a^2 - 4a + 3) = a(a - 1)(a - 3)\)
তিনটিতেই a এবং \((a - 3)\) দুটিই আছে, তাই গ.সা.গু. \(a(a - 3)\)।
(দ্বিতীয় রাশি \(a^2 - 9\) হলে তাতে a থাকত না, তখন উত্তর হতো \(a - 3\)।) -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(x^2 - y^2\), \(x^2 + xy + y^2\), \(x^3 - y^3\) রাশিত্রয়ের ল. সা. গু-
ব্যাখ্যা দেখুন
\(x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)\) এবং \(x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)\)।
সব উৎপাদক: \((x + y)\), \((x - y)\), \((x^2 + xy + y^2)\)। ∴ ল.সা.গু. \(= (x + y)(x - y)(x^2 + xy + y^2) = (x^2 - y^2)(x^2 + xy + y^2)\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(a + b\), \(a^2 - b^2\) এবং \(a^3 + b^3\) এর গ. সা. গু কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) এবং \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)।
তিনটিতেই আছে \((a + b)\)। ∴ গ.সা.গু. \(a + b\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(x + y\), \(x - y\), \(x^2 - y^2\) এর গ. সা. গু. কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(x + y\) ও \(x - y\)-এর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই তিনটি রাশির গ.সা.গু. 1।
(এদের ল.সা.গু. হতো \(x^2 - y^2\)।) -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
ল. সা. গু. নির্ণয় করুন। \(a^3 - 1\), \(1 + a^3\), \(1 + a^2 + a^4\)
ব্যাখ্যা দেখুন
\(a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)\), \(a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)\), \(a^4 + a^2 + 1 = (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)\)।
ল.সা.গু. \(= (a^3 - 1)(a^3 + 1) = a^6 - 1\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(4(a + b)\), \(10(a - b)\) এবং \(12(a^2 - b^2)\) এর গ. সা. গু. কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
সহগ 4, 10 ও 12-এর গ.সা.গু. 2।
\((a + b)\) দ্বিতীয় রাশিতে নেই, \((a - b)\) প্রথম রাশিতে নেই। তাই বীজগাণিতিক কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।
∴ গ.সা.গু. 2।
স্কুল পর্যায়-২
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(4(a + b)\), \(10(a - b)\) এবং \(12(a^2 - b^2)\) এর গ. সা. গু কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
সহগগুলোর গ.সা.গু. 2। \((a + b)\) ও \((a - b)\) কোনোটিই তিনটি রাশিতে একসাথে নেই।
∴ গ.সা.গু. 2। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(x^2 + 5x + 6\) এবং \(x^2 + 3x + 2\) এর গ.সা.গু. 12 হলে, x এর মান-
ব্যাখ্যা দেখুন
\(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\) এবং \(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\)।
গ.সা.গু. \(x + 2 = 12\), তাই \(x = 10\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(x^2 - 11x + 30\) এবং \(x^3 - 4x^2 - 2x - 15\) এর গ. সা. গু. কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(x^2 - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6)\)।
দ্বিতীয় রাশিতে \(x = 5\) বসালে \(125 - 100 - 10 - 15 = 0\), আর \(x = 6\) বসালে \(216 - 144 - 12 - 15 = 45\)।
তাই কেবল \((x - 5)\) সাধারণ: \(x^3 - 4x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x^2 + x + 3)\)। ∴ গ.সা.গু. \(x - 5\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(4(x + y)\), \(10(x - y)\) এবং \(12(x^2 - y^2)\) এর গ. সা. গু. কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
সহগ 4, 10, 12-এর গ.সা.গু. 2; তিনটি রাশির কোনো বীজগাণিতিক সাধারণ উৎপাদক নেই। ∴ গ.সা.গু. 2।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(x^2 + 2x\), \(x^3 + 8\) এবং \(x^2 - 4\) রাশি তিনটির গ. সা. গু নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(x^2 + 2x = x(x + 2)\), \(x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)\), \(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)।
তিনটিতেই আছে \((x + 2)\)। ∴ গ.সা.গু. \(x + 2\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(16x^2 - 25y^2\) এবং \(12ax - 15ay\) এর গ. সা. গু. কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(16x^2 - 25y^2 = (4x + 5y)(4x - 5y)\) এবং \(12ax - 15ay = 3a(4x - 5y)\)।
∴ গ.সা.গু. \(4x - 5y\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(x - 2\), \(x^2 - 4\) এবং \(x + 2\) এর গ. সা. গু. নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(x - 2\) ও \(x + 2\)-এর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই তিনটির গ.সা.গু. 1।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(x^2 + 5x\), \(x^2 - 25\), \(x^2 + 7x + 10\) এর গ. সা. গু কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(x^2 + 5x = x(x + 5)\), \(x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)\), \(x^2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)\)।
∴ গ.সা.গু. \(x + 5\)। (খ বিকল্পটি ল.সা.গু.।) -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(a^2 - 3a\), \(a^2 - 9\), \(a^2 - 4a + 3\) এর গ. সা. গু. কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(a^2 - 3a = a(a - 3)\), \(a^2 - 9 = (a + 3)(a - 3)\), \(a^2 - 4a + 3 = (a - 1)(a - 3)\)।
তিনটিতে সাধারণ কেবল \((a - 3)\)। ∴ গ.সা.গু. \(a - 3\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(x^2 - y^2\), \((x + y)^2\), \(x^3 + y^3\) এর গ. সা. গু কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)\), \((x + y)^2 = (x + y)(x + y)\), \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\)।
∴ গ.সা.গু. \(x + y\)। (ঘ বিকল্পটি ল.সা.গু.।)