অঙ্ক ও সংখ্যার মৌলিক সংজ্ঞা থেকে শুরু করে মৌলিক–কৃত্রিম–সহমৌলিক সংখ্যা, মূলদ–অমূলদ সংখ্যা, ভাজ্য-ভাজক সম্পর্ক এবং বিভাজ্যতার নিয়ম, এই অংশে সংখ্যা পদ্ধতির পুরো তত্ত্ব এবং তার ভিত্তিতে অনুশীলনী দেওয়া আছে।
সংজ্ঞা ও ধারণা (সংখ্যা)
অঙ্ক ও সংখ্যা
অঙ্ক (Digit): বিভিন্ন হিসাব-নিকাশ ও গণনার কাজে যেসব প্রতীক বা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়, তাকে অঙ্ক বলে। দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে মোট ১০টি অঙ্ক আছে, ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯।
সংখ্যা (Number): এক বা একাধিক অঙ্কের সমষ্টিকে সংখ্যা বলা হয়।
স্বকীয় মান ও স্থানীয় মান
স্বকীয় মান: কোনো সংখ্যায় ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর মান তার অবস্থানের উপর নির্ভর করে না, কোনো সার্থক অঙ্ক আলাদাভাবে লিখতে যে সংখ্যা প্রকাশ করে, তাকে অঙ্কের স্বকীয় মান বলে।
স্থানীয় মান: কয়েকটি অঙ্ক পাশাপাশি লিখলে কোনো সার্থক অঙ্ক তার অবস্থানের জন্য যে সংখ্যা প্রকাশ করে, তাকে ঐ অঙ্কের স্থানীয় মান বলে।
উদাহরণ
৫৫৫ সংখ্যায়, তিনটি ৫-এর স্বকীয় মান সমান, প্রতিটিই ৫। কিন্তু সর্ব-ডানের ৫-এর স্থানীয় মান ৫, ডান থেকে দ্বিতীয় ৫-এর স্থানীয় মান ৫০, এবং তৃতীয় ৫-এর স্থানীয় মান ৫০০।
[ 555 = 100times5 + 10times5 + 5 ]
একই অঙ্কের স্থান পরিবর্তনের ফলে স্থানীয় মানের পরিবর্তন হয়, কিন্তু স্বকীয় মান একই থাকে।
দেশীয় রীতিতে ঘরগুলোর মান: পাশাপাশি লিখিত অঙ্কগুলো দিয়ে গঠিত সংখ্যার ডানদিক থেকে ১ম, ২য়, ৩য়, ৪র্থ, ৫ম, ৬ষ্ঠ, ৭ম, ৮ম স্থানকে যথাক্রমে একক, দশক, শতক, হাজার, অযুত, লক্ষ, নিযুত এবং কোটি হিসেবে গণনা করা হয়।
| স্থান | একক | দশক | শতক | হাজার |
|---|---|---|---|---|
| ৫৪৯৩ সংখ্যায় অঙ্ক | ৩ | ৯ | ৪ | ৫ |
পূর্ণসংখ্যা (Integer)
যেকোনো পূর্ণ সংখ্যাকে Integer বলে। ইন্টিজার ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে, কিন্তু ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা হবে না। বিশেষভাবে উল্লেখ্য, শূন্য (০) নিজেও একটি ইন্টিজার বা পূর্ণ সংখ্যা।
গুণনীয়ক ও গুণিতক
একটি সংখ্যা দ্বারা অন্য একটি সংখ্যা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, যে সংখ্যাটি দিয়ে ভাগ করা হলো তাকে দ্বিতীয় সংখ্যাটির গুণনীয়ক (বা উৎপাদক) বলা হয়; আর ভাজ্য সংখ্যাটিকে ঐ গুণনীয়কের একটি গুণিতক বলে।
( 45 div 5 = 9,quad 45 div 9 = 5 ), অর্থাৎ ৫ ও ৯ দ্বারা ৪৫ নিঃশেষে বিভাজ্য। এখানে ৫ ও ৯ হলো ৪৫-এর গুণনীয়ক, এবং ৪৫ হলো ৫ ও ৯-এর একটি গুণিতক।
সাধারণ গুণনীয়ক: কোনো সংখ্যা দুই বা ততোধিক প্রদত্ত সংখ্যার গুণনীয়ক হলে, সেই সংখ্যাকে ঐ সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক বলা হয়। যেমন, ( 24 = 2times2times2times3 ) এবং ( 70 = 2times5times7 ); উভয়েরই মৌলিক উৎপাদকে ২ আছে, তাই ২৪ ও ৭০-এর সাধারণ গুণনীয়ক ২।
মৌলিক, কৃত্রিম ও সহমৌলিক সংখ্যা
মৌলিক সংখ্যা (Prime): কোনো সংখ্যাকে যদি ১ এবং সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা না যায়, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট ২৫টি মৌলিক সংখ্যা আছে, ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।
| সীমা | মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা |
|---|---|
| ১–১০ | ৪টি |
| ১১–২০ | ৪টি |
| ২১–৩০ | ২টি |
| ৩১–৪০ | ২টি |
| ৪১–৫০ | ৩টি |
| ৫১–৬০ | ২টি |
| ৬১–৭০ | ২টি |
| ৭১–৮০ | ৩টি |
| ৮১–৯০ | ২টি |
| ৯১–১০০ | ১টি |
মনে রাখার সহজ কৌশল, উপরের গণনাগুলো একটানা বসালে একটি "ফোন নম্বর" তৈরি হয়: ৪৪ ২২ ৩২২ ৩২১। এছাড়া: ১–১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫টি, ১–২০০ পর্যন্ত ৪৬টি, ১–১০০ মৌলিক সংখ্যাগুলোর যোগফল ১০৬০, এবং ১–১০০ পর্যন্ত সব সংখ্যার যোগফল ৫০৫০।
কৃত্রিম সংখ্যা (Composite): যেসব সংখ্যাকে ১ এবং সেই সংখ্যা ছাড়াও অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়, তাকে কৃত্রিম সংখ্যা বলে। যেমন, ৪, ১৮, ২২, ৯০ ইত্যাদি।
সহমৌলিক সংখ্যা (Co-prime): দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
উদাহরণ, ৩৬ ও ১২৫
( 36 = 1times2times2times3times3 ), ( 125 = 1times5times5times5 )। ৩৬-এর মৌলিক উৎপাদক: ১, ২, ২, ৩, ৩। ১২৫-এর মৌলিক উৎপাদক: ১, ৫, ৫, ৫। ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, তাই ৩৬ ও ১২৫ পরস্পর সহমৌলিক।
মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা
মূলদ সংখ্যা: শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণ সংখ্যা, প্রকৃত/অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, পূর্ণ বর্গমূল এবং পৌনঃপুনিক দশমিক, এসবই মূলদ সংখ্যা। যেমন ( sqrt{4}=2 ), ( sqrt{9}=3 ), ( sqrt{144}=12 ), পূর্ণ বর্গমূল হওয়ায় এরা মূলদ সংখ্যা।
অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যার বর্গমূল পূর্ণ সংখ্যা হয় না, বা যাকে দুই পূর্ণসংখ্যার অনুপাতরূপে প্রকাশ করা যায় না, তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে। পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ, যেমন ( sqrt{2} ), ( sqrt{3} ), ( sqrt{5} )।
ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল, ভাগশেষ
- ভাজ্য: যে রাশিকে ভাগ করা হয়।
- ভাজক: যে রাশি দ্বারা ভাগ করা হয়।
- ভাগফল: ভাজ্যকে ভাজক দ্বারা ভাগ করার পর প্রাপ্ত ফল।
- ভাগশেষ: ভাগ করার পর যা অবশিষ্ট থাকে এবং আর ভাগ করা যায় না।
ভাগশেষ ০ হলে সেই ভাজ্যকে নিঃশেষে বিভাজ্য বলা হয়। সাধারণ সম্পর্ক: [ text{ভাজ্য} = (text{ভাজক} times text{ভাগফল}) + text{ভাগশেষ} ]
বিভাজ্যতা নিয়ম
- ২ দ্বারা বিভাজ্য: একক স্থানীয় অঙ্ক ০ বা জোড় সংখ্যা হবে। যেমন, ৩২০, ৪৫৬ বিভাজ্য; ৮৪৩ অবিভাজ্য (একক অঙ্ক ৩, বিজোড়)।
- ৩ দ্বারা বিভাজ্য: সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন, ৩১৮ বিভাজ্য (৩+১+৮=১২); ৩১৯ অবিভাজ্য (৩+১+৯=১৩)।
- ৪ দ্বারা বিভাজ্য: শেষ দুই অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। যেমন, ৬৩৬ বিভাজ্য (৩৬÷৪=৯); ৭৮৩ অবিভাজ্য (৮৩ চার দ্বারা বিভাজ্য নয়)।
- ৫ দ্বারা বিভাজ্য: একক স্থানীয় অঙ্ক ০ বা ৫ হবে। যেমন, ৬৪০ বিভাজ্য; ৪১৯ অবিভাজ্য।
- ৯ দ্বারা বিভাজ্য: অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন, ২৫২ বিভাজ্য (২+৫+২=৯); ২৮১ অবিভাজ্য (২+৮+১=১১)।
ভাজক গণনার কৌশল
যেকোনো সংখ্যার মোট ভাজকের সংখ্যা বের করতে হলে, সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে ভেঙে সূচক আকারে লিখুন, তারপর প্রতিটি সূচকের সাথে ১ যোগ করে গুণফল নিন।
উদাহরণ, ৭২
[ 72 = 2times2times2times3times3 = 2^3 times 3^2 ]
[ text{ভাজক সংখ্যা} = (3+1)(2+1) = 4times3 = 12 ]
ভাজকসমূহ: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২ (মোট ১২টি)।
উদাহরণ, ৫৪০
[ 540 = 2^2 times 3^3 times 5^1 ]
[ text{ভাজক সংখ্যা} = (2+1)(3+1)(1+1) = 3times4times2 = 24 ]
ভাজকসমূহ: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৯, ১০, ১২, ১৫, ১৮, ২০, ২৭, ৩০, ৩৬, ৪৫, ৫৪, ৬০, ৯০, ১০৮, ১৩৫, ১৮০, ২৭০, ৫৪০ (মোট ২৪টি)।
অনুশীলনী (সংখ্যা)
নিচের প্রতিটি প্রশ্নে বিকল্পগুলোর পর ধাপে ধাপে সমাধান ও সঠিক উত্তর দেওয়া আছে।
লব-হর, ভগ্নাংশের ধরন (প্রকৃত, অপ্রকৃত, মিশ্র, জটিল, যৌগিক), দশমিক ভগ্নাংশ, এবং বৃহত্তম/ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ নির্ণয়ের কৌশল, এই অংশে ভগ্নাংশের পুরো তত্ত্ব ও তার ভিত্তিতে অনুশীলনী দেওয়া আছে।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
শূন্য সংখ্যার আদি ধারণা কাদের?
ব্যাখ্যা দেখুন
শূন্য (০)-এর ধারণা প্রথম প্রবর্তন করেন প্রাচীন ভারতীয় গণিতবিদগণ।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর সবসময় সংখ্যা দুটির যোগফলের সমান, তাই ছোট সংখ্যাটি সরাসরি এই সূত্রে পাওয়া যায়:
\[ \text{ছোট সংখ্যা} = \frac{\text{বর্গের অন্তর} - 1}{2} = \frac{199-1}{2} = \frac{198}{2} = 99 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ \text{বড় সংখ্যা} = \frac{\text{বর্গের অন্তর} + 1}{2} = \frac{199+1}{2} = \frac{200}{2} = 100 \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
দুইটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৭ হলে, সংখ্যা দুটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, সংখ্যা দুটি \(x\) এবং \(x+1\)।
\[ (x+1)^2 - x^2 = 197 \ \Rightarrow\ 2x+1 = 197 \ \Rightarrow\ x = 98 \]
∴ সংখ্যা দুটি ৯৮ ও ৯৯। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি সংখ্যার বর্গের সাথে ৮ যোগ করলে যোগফল ৪৪ হয়। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, সংখ্যাটি \(x\)।
\[ x^2 + 8 = 44 \ \Rightarrow\ x^2 = 36 \ \Rightarrow\ x = 6 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে ৬১ ও ১১ হলে, সংখ্যা দুইটি কী কী?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, সংখ্যা দুইটি \(x\) ও \(y\)।
\[ x^2+y^2=61 \quad \text{...(i)} \qquad x^2-y^2=11 \quad \text{...(ii)} \]
(i) ও (ii) যোগ করে: \( 2x^2=72 \Rightarrow x^2=36 \Rightarrow x=6 \)
(i) নং থেকে: \( y^2 = 61-x^2 = 61-36 = 25 \Rightarrow y=5 \)
∴ \((x,y)=(6,5)\) -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ১৩ এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল ৬ হলে, সংখ্যা দুইটির বর্গের অন্তর কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, সংখ্যা দুইটি \(x\) ও \(y\); প্রশ্নমতে \(x^2+y^2=13\) এবং \(xy=6\)।
\[ (x^2-y^2)^2 = (x^2+y^2)^2 - 4x^2y^2 = 13^2 - 4\times6^2 = 169-144 = 25 \]
\( \therefore x^2-y^2 = \sqrt{25} = 5 \) -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নির্ণয় করুন, যাদের প্রথম দুইটির গুণফল শেষ দুইটির গুণফল অপেক্ষা ১০ কম।
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, ক্রমিক সংখ্যা তিনটি \(x,\ x+1,\ x+2\)।
\[ x(x+1) = (x+1)(x+2) - 10 \]
\[ x^2+x = x^2+3x+2-10 \ \Rightarrow\ -2x = -8 \ \Rightarrow\ x=4 \]
∴ সংখ্যা তিনটি ৪, ৫, ৬। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০।
\[ 999 - 100 = 899 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯৯, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০০।
\[ 99999 + 10000 = 109999 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হতে পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে কত হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯৯, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০০।
\[ 99999 - 10000 = 89999 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
চার অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০।
\[ 9999 - 1000 = 8999 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
০, ১, ২, ৩ দিয়ে গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা ৩২১০; ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (প্রথম অঙ্ক ০ হতে পারে না বলে) ১০২৩।
\[ 3210 - 1023 = 2187 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০০, চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯।
\[ 10000 - 9999 = 1 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে —
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ 72 = 2\times2\times2\times3\times3 = 2^3\times3^2 \]
\[ \text{ভাজক সংখ্যা} = (3+1)(2+1) = 4\times3 = 12 \]
বিদ্র: যেকোনো সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক সূচক আকারে লিখে, প্রতিটি সূচকের সাথে ১ যোগ করে পাওয়া সংখ্যাগুলোর ধারাবাহিক গুণফলই মোট ভাজক-সংখ্যার সমান। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৫৪০ সংখ্যাটির কতগুলো ভাজক আছে?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ 540 = 2\times2\times3\times3\times3\times5 = 2^2\times3^3\times5^1 \]
\[ \text{ভাজক সংখ্যা} = (2+1)(3+1)(1+1) = 3\times4\times2 = 24 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
নিঃশেষে বিভাজ্য না হলে নিচের কোনটি নির্ভুল?
ব্যাখ্যা দেখুন
ভাগ-সম্পর্কের মূল সূত্র: ভাজ্য সবসময় ভাজক ও ভাগফলের গুণফলের সাথে ভাগশেষ যোগ করলে পাওয়া যায়।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?
ব্যাখ্যা দেখুন
মূল সম্পর্ক \( \text{ভাজ্য} = \text{ভাজক}\times\text{ভাগফল} + \text{ভাগশেষ} \) থেকে ভাজক আলাদা করলে:
\[ \text{ভাজক} = (\text{ভাজ্য} - \text{ভাগশেষ}) \div \text{ভাগফল} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
ভাজক ভাগফলের ১০ গুণ, ভাজক ০.৫ হলে ভাজ্য কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
দেওয়া আছে, ভাজক \(=0.5\)। প্রশ্নমতে, ভাজক \(=\) ভাগফল \(\times 10\)।
\[ 0.5 = \text{ভাগফল}\times10 \ \Rightarrow\ \text{ভাগফল} = 0.05 \]
\[ \text{ভাজ্য} = \text{ভাজক}\times\text{ভাগফল} = 0.5\times0.05 = 0.025 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এই দুটি সংখ্যাসহ) কয়টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য?
ব্যাখ্যা দেখুন
১ থেকে ৯৬ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে \(96\div4=24\)টি। কিন্তু এর মধ্যে ৪ ও ৮ — এই দুটি সংখ্যা ১২-এর চেয়ে ছোট হলেও ৪ দ্বারা বিভাজ্য, তাই বাদ যাবে।
\[ 24 - 2 = 22 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
২১৫, ২১৯, ৩২৫, ৬২৫ সংখ্যাগুলোর মধ্যে পূর্ণবর্গ কোনটি?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(215=5\times43\) — পূর্ণবর্গ নয়। \(219=3\times73\) — পূর্ণবর্গ নয়। \(325=5\times5\times13\) — পূর্ণবর্গ নয়।
\[ 625 = (5\times5)\times(5\times5) = 25^2 \]
∴ ৬২৫-ই একমাত্র পূর্ণবর্গ সংখ্যা। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
যদি \(n\) একটি জোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারে না?
ব্যাখ্যা দেখুন
\(n\) জোড় হলে \(7n\) সবসময় জোড়; জোড় সংখ্যার সাথে বিজোড় ৩ যোগ করলে ফলাফল সবসময় বিজোড় হয়।
যেমন, \(n=2\) হলে: \(7n+3 = 7\times2+3 = 17\) — একটি বিজোড় সংখ্যা। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
প্রথম \(n\) সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় \(n^2\)।
\[ n=10 \ \Rightarrow\ 10^2 = 100 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
"\(x\)" সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
প্রথম \(x\) সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় \(x^2\) (আগের প্রশ্নের অভিন্ন সূত্র, সাধারণ আকারে)।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৩১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কতটি?
ব্যাখ্যা দেখুন
৩১ থেকে ৫০-এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো: ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭ — মোট ৫টি।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
ব্যাখ্যা দেখুন
৬, ৮, ৯ প্রত্যেকেই কৃত্রিম সংখ্যা (১ ও নিজে ছাড়াও অন্য গুণনীয়ক আছে); শুধু ৭-এর কোনো গুণনীয়ক নেই ১ ও ৭ ছাড়া।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
২৫ থেকে ৫৫ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?
ব্যাখ্যা দেখুন
২৫ থেকে ৫৫-এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো: ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩ — অর্থাৎ ৭টি।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?
ব্যাখ্যা দেখুন
১ থেকে ৩০-এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯ — অর্থাৎ ১০টি।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত স্বাভাবিক (পূর্ণ) সংখ্যাগুলোর গড় কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ \text{গড়} = \frac{49(49+1)}{2\times49} = \frac{49\times50}{2\times49} = 25 \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(\sqrt{529}\) এর বর্গমূল কী ধরনের সংখ্যা?
ব্যাখ্যা দেখুন
প্রশ্নটি \(\sqrt{529}\)-এরও বর্গমূল, অর্থাৎ \(\sqrt{\sqrt{529}}\) জিজ্ঞাসা করছে।
\[ \sqrt{529} = 23 \qquad \sqrt{23} = 4.7958\ldots \]
যেহেতু ২৩ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এর বর্গমূল একটি অনাবৃত দশমিক — অমূলদ সংখ্যা। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
নিচের কোন ক্রমজোড়টি সহমৌলিক?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ 12 = 2\times2\times3, \qquad 17 = 1\times17 \]
১২ ও ১৭-এর ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই — তাই এরা পারস্পরিক সহমৌলিক। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হলো —
ব্যাখ্যা দেখুন
১-এর চেয়ে বড় যে সংখ্যাকে ঐ সংখ্যা ও ১ ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। ২ হলো ক্ষুদ্রতম এবং একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
৪০ থেকে ১০০-এর মধ্যে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা যথাক্রমে ৯৭ ও ৪১।
\[ 97 - 41 = 56 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?
ব্যাখ্যা দেখুন
ক্রমসঞ্চিত গণনা: ১–১০ এ ৪টি, ১–২০ এ ৮টি, ১–৩০ এ ১০টি, ১–৫০ এ ১৫টি, ১–১০০ এ ২৫টি।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৫০ থেকে ১০০ পর্যন্ত কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?
ব্যাখ্যা দেখুন
৫০ ও ১০০-এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা: ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭ — মোট ১০টি।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৩০ থেকে ৪০-এর মধ্যবর্তী বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর মৌলিক সংখ্যার ব্যবধান কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
৩০ থেকে ৪০-এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা যথাক্রমে ৩১ ও ৩৭।
\[ 37 - 31 = 6 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল হবে —
ব্যাখ্যা দেখুন
৫ থেকে ১০-এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কেবল ৫ ও ৭।
\[ 5\times7 = 35 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
তিনটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার প্রথম দুইটি সংখ্যার গুণফল ৯১, শেষ দুইটির গুণফল ১৪৩ হলে, সংখ্যা তিনটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ 91 = 7\times13, \qquad 143 = 13\times11 \]
উভয় গুণফলেই ১৩ সাধারণ (মাঝের সংখ্যা), তাই সংখ্যা তিনটি ৭, ১৩, ১১ ক্রমে। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
ব্যাখ্যা দেখুন
প্রতিটি বিকল্প সরল করলে:
\[ \text{ক)}\ \frac{\sqrt{27}}{3} = \frac{\sqrt{3^2\cdot3}}{3} = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3 \ \text{— অমূলদ} \]
\[ \text{খ)}\ \frac{\sqrt[3]{125}}{5} = \frac{\sqrt[3]{5^3}}{5} = \frac{5}{5} = 1 \ \text{— মূলদ} \]
\[ \text{গ)}\ \frac{\sqrt[4]{81}}{4} = \frac{\sqrt[4]{3^4}}{4} = \frac{3}{4} \ \text{— মূলদ} \]
\[ \text{ঘ)}\ \frac{\sqrt[5]{32}}{8} = \frac{\sqrt[5]{2^5}}{8} = \frac{2}{8} = \frac14 \ \text{— মূলদ} \]
শুধু "ক"-ই অমূলদ সংখ্যায় পরিণত হয়। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2 \]
২ একটি মূলদ সংখ্যা, তাই \(\sqrt[3]{8}\)-ও মূলদ সংখ্যা। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(\sqrt2\) সংখ্যাটি কোন ধরনের সংখ্যা?
ব্যাখ্যা দেখুন
পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলে। যেহেতু ২ পূর্ণবর্গ নয়, তাই \(\sqrt2\) একটি অমূলদ সংখ্যা।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
ছয়টি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার প্রথম তিনটির গড় ৮ হলে, শেষ তিনটির যোগফল কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, ক্রমিক সংখ্যাগুলো \(x-2,\ x-1,\ x,\ x+1,\ x+2,\ x+3\)।
\[ \frac{(x-2)+(x-1)+x}{3} = 8 \ \Rightarrow\ 3x-3=24 \ \Rightarrow\ x=9 \]
শেষ তিনটি: \(x+1,\ x+2,\ x+3\)।
\[ (x+1)+(x+2)+(x+3) = 3x+6 = (3\times9)+6 = 33 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
ছয়টি পরপর পূর্ণ সংখ্যা দেওয়া আছে। প্রথম তিনটির যোগফল ২৭ হলে, শেষ তিনটির যোগফল কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, প্রথম সংখ্যা \(x\); সংখ্যাগুলো \(x,\ x{+}1,\ x{+}2,\ x{+}3,\ x{+}4,\ x{+}5\)।
\[ x+(x{+}1)+(x{+}2) = 3x+3 = 27 \ \Rightarrow\ x=8 \]
\[ (x{+}3)+(x{+}4)+(x{+}5) = 3x+12 = (3\times8)+12 = 36 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
−১ থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল শূন্য হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ -1 - x = 0 \ \Rightarrow\ x = -1 \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
তিনটি ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল ১২০ হলে, এদের যোগফল কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, তিনটি সংখ্যা \(x-1,\ x,\ x+1\); যোগফল \(=3x\)।
\[ (x-1)\cdot x\cdot(x+1) = 120 \ \Rightarrow\ x^3-x-120=0 \]
\[ x^2(x-5)+5x(x-5)+24(x-5)=0 \ \Rightarrow\ (x^2+5x+24)(x-5)=0 \ \Rightarrow\ x=5 \]
সংখ্যা তিনটি ৪, ৫, ৬ — যোগফল \(4+5+6=15\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ৬০ হলে তাদের যোগফল কত হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি ৩, ৪, ৫ — যাদের গুণফল \(3\times4\times5=60\)।
\[ 3+4+5 = 12 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৩টি সংখ্যার গুণফল ২১৬। দুইটি সংখ্যা ৮ এবং ৯ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ 8\times9\times\text{তৃতীয় সংখ্যা} = 216 \ \Rightarrow\ \text{তৃতীয় সংখ্যা} = \frac{216}{72} = 3 \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
আপনি যদি ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত গুনতে থাকেন, তবে এর মধ্যে "৫" অঙ্কটি কতবার পাবেন?
ব্যাখ্যা দেখুন
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখলে "৫" অঙ্কটি একক স্থানে ১০ বার (৫, ১৫, ২৫, …, ৯৫) এবং দশক স্থানে ১০ বার (৫০–৫৯) আসে। ৫৫-তে দুইবার গোনা হয় (একক ও দশক উভয় স্থানে), যা মোট গণনায় সঠিকভাবেই ধরা থাকে।
\[ 10 + 10 = 20 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
তিনটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার প্রথম দুইটি সংখ্যার গুণফল ৯১, শেষ দুইটির গুণফল ১৪৩ হলে, সংখ্যা তিনটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
প্রথম দুইটির গুণফল "ক" ও "খ"-এর ক্ষেত্রে ৯১, আর "গ" ও "ঘ"-এর ক্ষেত্রে ১৪৩। আবার শেষ দুইটির গুণফল "ক" ও "খ"-এর ক্ষেত্রে ১৪৩, আর "গ" ও "ঘ"-এর ক্ষেত্রে ৯১। শুধু "ক"-ই উভয় শর্ত একসাথে পূরণ করে (প্রথম দুইটি → ৯১, শেষ দুইটি → ১৪৩)।
এই একই প্রশ্ন আগে প্রশ্ন ৩৮-এ মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করে সমাধান করা হয়েছিল — এখানে দ্বিতীয় একটি পদ্ধতি দেখানো হলো। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি সংখ্যা ৬৫০ হতে যত বড়, ৮২০ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, সংখ্যাটি \(X\)। প্রশ্নমতে, \(X-650 = 820-X\)।
\[ 2X = 1470 \ \Rightarrow\ X = 735 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি সংখ্যা ১০০ থেকে যত বড়, ৩২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ \text{সংখ্যাটি} = \frac{100+320}{2} = \frac{420}{2} = 210 \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি ধনাত্মক সংখ্যার দ্বিগুণের বর্গের সঙ্গে ১৫ যোগ করলে ৪১৫ হয়। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, সংখ্যাটি \(a\); দ্বিগুণ \(=2a\)।
\[ (2a)^2+15=415 \ \Rightarrow\ 4a^2=400 \ \Rightarrow\ a^2=100 \ \Rightarrow\ a=10 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩০। একটি সংখ্যা \(p\) হলে, অপরটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ \text{অপর সংখ্যা} = \frac{\text{দুইটি সংখ্যার গুণফল}}{\text{একটি সংখ্যা}} = \frac{30}{p} \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ৮৮ হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, সংখ্যাটি \(x\)।
\[ 2x+2=88 \ \Rightarrow\ 2x=86 \ \Rightarrow\ x=43 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ এবং পার্থক্য ১৫। ছোট সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, সংখ্যা দুইটি \(x\) ও \(y\), যেখানে \(x>y\); \(\dfrac{x}{y}=2 \Rightarrow x=2y\)। আবার \(x-y=15\)।
\[ 2y-y = 15 \ \Rightarrow\ y = 15 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৩০-কে অর্ধেক দ্বারা ভাগ করে ১০ যোগ করলে যোগফল কত হয়?
ব্যাখ্যা দেখুন
অর্ধেক দ্বারা ভাগ করা মানে \(\tfrac12\)-এর বিপরীত রাশি ২ দ্বারা গুণ করা।
\[ \left(30\div\tfrac12\right)+10 = (30\times2)+10 = 60+10 = 70 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, সংখ্যাটি \(X\)।
\[ 3X+2X=90 \ \Rightarrow\ 5X=90 \ \Rightarrow\ X=18 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
কোন সংখ্যার ৯ গুণ থেকে ১৫ গুণ ৫৪ বেশি?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, সংখ্যাটি \(X\)।
\[ 15X-9X=54 \ \Rightarrow\ 6X=54 \ \Rightarrow\ X=9 \]
সংজ্ঞা ও ধারণা (ভগ্নাংশ)
ভগ্নাংশ কী
ভগ্নাংশ (Fraction): দুটি পূর্ণ সংখ্যাকে অনুপাত বা ভাগ করলে যে রাশি পাওয়া যায় তাকে Fraction বা ভগ্নাংশ বলে।
ধরি, (a) এবং (b) দুটি পূর্ণ সংখ্যা। তাহলে (dfrac{a}{b})-কে বলা হয় ভগ্নাংশ। এখানে (a)-কে বলা হয় লব (Numerator) এবং (b)-কে বলা হয় হর (Denominator)। ভগ্নাংশ মানে ভাঙা অংশ, কোনো বস্তুকে কয়েকটি সমান অংশে বিভক্ত করে তার কতগুলো অংশ নেওয়া হলে তা প্রকাশ করার মাধ্যমকে ভগ্নাংশ বলে।
সাধারণত ৪ ভাবে ভগ্নাংশকে ব্যবহার করা হয়, ১টি সম্পূর্ণ জিনিসের অংশ বোঝাতে, ১টি সেটের জিনিসের অংশ বোঝাতে, ২ বা ততোধিক বস্তুর মধ্যে তুলনা বোঝাতে, এবং কোনো কোনো ক্ষেত্রে পরিমাপ বোঝাতে।
ভগ্নাংশের ধর্মাবলি
- একটি ভগ্নাংশের লব ও হরকে ০ বাদে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে ভগ্নাংশটির মানের কোনো পরিবর্তন হয় না।
- কোনো ভগ্নাংশকে ১ দ্বারা গুণ/ভাগ করলে ভগ্নাংশের পরিবর্তন হয় না।
- কোনো ভগ্নাংশের হরকে লব এবং লবকে হর করলে যে ভগ্নাংশটি হয়, তাকে ১ম টির বিপরীত ভগ্নাংশ (ব্যস্তানুপাত) বলা হয়।
- কোনো ভগ্নাংশের লব শূন্য হলে উক্ত ভগ্নাংশের মান শূন্য (০) হয়; এরূপ ভগ্নাংশের কোনো বিপরীত ভগ্নাংশ নেই।
- কোনো ভগ্নাংশকে তার বিপরীত ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফল ১ হয়।
ভগ্নাংশের প্রকারভেদ
ভগ্নাংশ সাধারণত ৩ প্রকার, প্রকৃত, অপ্রকৃত ও মিশ্র ভগ্নাংশ।
- প্রকৃত ভগ্নাংশ (Proper Fraction): যে ভগ্নাংশের লব ছোট, হর বড়, তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে। যেমন, (dfrac23, dfrac59)।
- অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper Fraction): যে ভগ্নাংশের লব বড় এবং হর ছোট, তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে। যেমন, (dfrac95, dfrac54)। হর ও লব সমান হলেও তা অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।
- মিশ্র ভগ্নাংশ (Mixed Fraction): পূর্ণ সংখ্যার সাথে প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকলে তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে, যেমন (1dfrac23, 2dfrac78)। সকল মিশ্র ভগ্নাংশ অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তরযোগ্য।
- জটিল ভগ্নাংশ (Complex Fraction): লবে অথবা হরে অথবা উভয়েই যদি আরেকটি ভগ্নাংশ থাকে। যেমন, (dfrac{2/3}{5})।
- যৌগিক ভগ্নাংশ (Compound Fraction): লবে অথবা হরে অথবা উভয় জায়গায় যোগ বা বিয়োগের কাজ থাকলে তাকে যৌগিক ভগ্নাংশ বলে। যেমন, (dfrac{2/3+3/5}{8})।
হরের ভিত্তিতে ভগ্নাংশকে ২ ভাগে ভাগ করা যায়, সমহর বিশিষ্ট (একই হর, যেমন (dfrac23, dfrac33, dfrac43), লব যত বড়, ভগ্নাংশ তত বড়) এবং অসম হর বিশিষ্ট (ভিন্ন হর, যেমন (dfrac23, dfrac35, dfrac47))। লবের ভিত্তিতেও ২ প্রকার, সম লব বিশিষ্ট (একই লব, যেমন (dfrac23, dfrac24, dfrac25), এক্ষেত্রে হর যত বড়, ভগ্নাংশ তত ছোট) এবং অসম লব বিশিষ্ট (যেমন (dfrac13, dfrac35, dfrac78))।
অন্যান্য ভগ্নাংশ
- দশমিক ভগ্নাংশ (Decimal Fraction): ১০ বা ১০-এর কোনো গুণিতক (যেমন ১০০, ১০০০) অংশে বিভক্ত করে যে ভগ্নাংশ করা হয়, তাকে দশমিক ভগ্নাংশ বলে।
- সমতুল দশমিক ভগ্নাংশ: যেসব দশমিক ভগ্নাংশের মান সমান, তাদের সমতুল দশমিক ভগ্নাংশ বলে। যেমন, ০.২৪, ০.২৪০, ০.২৪০০।
- সদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ: দশমিক বিন্দুর পরে যেসব দশমিক ভগ্নাংশের সমান সংখ্যক অংশ থাকে, তাদের সদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ বলে। যেমন, ০.৫৬৭, ০.৩৪৫।
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ নির্ণয়ের কৌশল
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ নির্ণয়ের জন্য নিচের ৩টি নিয়ম মনে রাখলেই চলে।
নিয়ম ১, হর সমান হলে
প্রদত্ত অপশনগুলোর হর যদি একই সংখ্যা হয়, তাহলে যে ভগ্নাংশের লব বড় সেটিই বৃহত্তম, আর যেটির লব ছোট সেটিই ক্ষুদ্রতম। যেমন, (dfrac27, dfrac37, dfrac57, dfrac17)-এর মধ্যে সবগুলোর হর ৭; লব সবচেয়ে বড় হওয়ায় (dfrac57) বৃহত্তম, আর (dfrac17) ক্ষুদ্রতম।
নিয়ম ২, আড়াআড়ি গুণ (Cross multiplication)
দুটি ভগ্নাংশ তুলনা করতে: ১ম ভগ্নাংশের লব ও ২য়টির হরের গুণফল ১ম ভগ্নাংশের উপরে বসবে, এবং ১ম-টির হর ও ২য়-টির লবের গুণফল ২য় ভগ্নাংশের উপরে বসবে। যার লবের উপরেরটা বড়, সেই ভগ্নাংশটি বড়।
উদাহরণ, (dfrac34, dfrac37, dfrac25, dfrac23)-এর মধ্যে বৃহত্তম কোনটি?
(dfrac34) বনাম (dfrac37): (3times7=21), (3times4=12); (21>12), তাই (dfrac34) বড়।
(dfrac34) বনাম (dfrac25): (3times5=15), (2times4=8); (15>8), তাই (dfrac34) বড়।
(dfrac34) বনাম (dfrac23): (3times3=9), (2times4=8); (9>8), তাই (dfrac34) বড়। সুতরাং (dfrac34) ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।
নিয়ম ৩, ভাগ করে দশমিকে প্রকাশ
ভগ্নাংশগুলোকে ভাগের মাধ্যমে দশমিকে প্রকাশ করেও বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ নির্ণয় করা যায়। যেমন, (dfrac{2}{11}=0.1818ldots), (dfrac{3}{11}=0.2727ldots), (dfrac{2}{13}=0.1538ldots), (dfrac{8}{15}=0.2666ldots); বড় থেকে ছোট ক্রমে: (0.27>0.26>0.18>0.15)।
অনুশীলনী (ভগ্নাংশ)
নিচের প্রতিটি প্রশ্নে বিকল্পগুলোর পর ধাপে ধাপে সমাধান ও সঠিক উত্তর দেওয়া আছে।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(0.4\dot{7}\) কে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করলে কত হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ 0.4\dot7 = \frac{47-4}{90} = \frac{43}{90} \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
১.১৬ এর সাধারণ ভগ্নাংশ কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ 1.16 = \frac{116}{100} = \frac{29}{25} = 1\frac{4}{25} \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
কোনটি মিশ্র ভগ্নাংশ?
ব্যাখ্যা দেখুন
পূর্ণ সংখ্যার সাথে প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকলে তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে। তাই \(7\dfrac{1}{8}\) হলো মিশ্র ভগ্নাংশ, কারণ \(\dfrac{1}{8}\), ৭-এর সাথে যুক্ত আছে।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(0.\dot{2}\dot{4}\) এর সমান ভগ্নাংশটি —
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ 0.\dot{2}\dot{4} = \frac{24-0}{99} = \frac{24}{99} = \frac{8}{33} \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\((0.01 \times 1)^2\) = কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ (0.01\times1)^2 = (0.01)^2 = 0.0001 \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\((0.004)^2\) = কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ (0.004)^2 = 0.004\times0.004 = 0.000016 \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য ১ এবং সমষ্টি ৭ হলে ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, ভগ্নাংশের লব \(x\) এবং হর \(y\); ভগ্নাংশটি \(=\dfrac{x}{y}\)।
\[ x-y=1,\qquad x+y=7 \]
যোগ করে: \(2x=8 \Rightarrow x=4\)। তখন \(4-y=1 \Rightarrow y=3\)।
\[ \therefore \text{ভগ্নাংশটি} = \frac{4}{3} = \frac{8}{6} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ২। লব ও হরের উভয় থেকে ৫ বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায়, তার সাথে \(\dfrac{1}{4}\) যোগ করলে ১ হয়। ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, লব \(x\); হর \(x+2\)। ভগ্নাংশ \(=\dfrac{x}{x+2}\)।
শর্তমতে, \[ \frac{x-5}{x+2-5} + \frac14 = 1 \]
\[ \frac{x-5}{x-3} = \frac34 \ \Rightarrow\ 4x-20=3x-9 \ \Rightarrow\ x=11 \]
\[ \therefore \text{নির্ণেয় ভগ্নাংশ} = \frac{11}{11+2} = \frac{11}{13} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য ২ এবং সমষ্টি ১৬। ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, লব \(x\) এবং হর \(y\)।
\[ x+y=16,\qquad x-y=2 \]
যোগ করে: \(2x=18 \Rightarrow x=9,\ y=7\)।
\[ \therefore \text{ভগ্নাংশ} = \frac{9}{7} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ৭, এদের অন্তরফল ৩। ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, ভগ্নাংশ \(=\dfrac{x}{y}\), যেখানে \(x<y\) (প্রকৃত ভগ্নাংশ)।
\[ y+x=7,\qquad y-x=3 \]
যোগ করে: \(2y=10 \Rightarrow y=5\)। তাহলে \(x=5-3=2\)।
\[ \therefore \text{ভগ্নাংশটি} = \frac{2}{5} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
তপুর কাছে ৩৬০টি মার্বেল আছে যার \(\dfrac{1}{3}\) অংশ হচ্ছে কালো। যদি সে তার ভাইকে তার কালো মার্বেলের \(\dfrac{1}{3}\) অংশ দিয়ে দেয়, তবে তপুর কাছে যত মার্বেল থাকবে তার কত শতাংশ কালো মার্বেল?
ব্যাখ্যা দেখুন
তপুর কালো মার্বেলের সংখ্যা \(\left(360\times\dfrac13\right)=120\)টি।
ভাইকে দেয় \(\left(120\times\dfrac13\right)=40\)টি।
তপুর মার্বেলের সংখ্যা \(=360-40=320\)টি, যার মধ্যে কালো \(120-40=80\)টি।
\[ \therefore \text{শতাংশ} = \frac{80}{320}\times100 = 25\% \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
\(\dfrac{9}{?} = \dfrac{?}{81}\) — কোন একটি সংখ্যা প্রশ্নবোধক স্থান দুটিতে বসবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, নির্ণেয় সংখ্যা \(=x\)।
\[ \frac{9}{x} = \frac{x}{81} \ \Rightarrow\ x^2 = 81\times9 \ \Rightarrow\ x=27 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
কোন সংখ্যার \(\dfrac{3}{7}\) অংশ ৪৮ এর সমান?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, নির্ণেয় সংখ্যা \(=x\)।
\[ \frac37 x = 48 \ \Rightarrow\ x = \frac{48\times7}{3} = 112 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একজন লোক ডিসেম্বর মাসে অন্যান্য মাসের তুলনায় দ্বিগুণ আয় করে। তার সারা বছরের আয়ের কত অংশ ডিসেম্বর মাসে আয় করে?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, লোকটি ডিসেম্বর ছাড়া অন্য প্রতি মাসে আয় করে \(=ক\) টাকা।
ডিসেম্বরে আয় করে \(=2ক\) টাকা।
সারা বছরে আয় করে \(=(11ক+2ক)=13ক\) টাকা।
\[ \therefore \text{ডিসেম্বরের অংশ} = \frac{2ক}{13ক} = \frac{2}{13} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
রফিকের আয়ের \(\dfrac12\) অংশ ৩৫০০ টাকা হলে তার আয়ের \(\dfrac17\) অংশ কত হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
আয়ের \(\dfrac12\) অংশ \(=3500\) টাকা ∴ সম্পূর্ণ আয় \(=3500\times2\) টাকা।
\[ \therefore \dfrac17 \text{ অংশ} = \frac{3500\times2}{7} = 1000 \text{ টাকা} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
এক ব্যক্তি মাসিক বেতনের \(\dfrac{1}{40}\) অংশ মহার্ঘভাতা পান। তার মাসিক বেতন ১৬০০ টাকা হলে, তার মহার্ঘভাতা কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
মহার্ঘভাতা \(= 1600 \times \dfrac{1}{40} = 40\) টাকা।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
কোন কর্মচারী মূল বেতনের \(\dfrac{1}{40}\) ভাগের সমপরিমাণ বিশেষ ভাতা পান। তার বিশেষ ভাতা ৪০ টাকা হলে, মূল বেতন কত টাকা?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ x\times\frac{1}{40} = 40 \ \Rightarrow\ x = 1600 \text{ টাকা} \]
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
কোনো সম্পত্তির \(\dfrac78\) অংশের মূল্য ৯১০০.০০ টাকা। ঐ সম্পত্তির \(\dfrac68\) অংশের মূল্য কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
সম্পত্তির \(\dfrac78\) অংশের মূল্য \(=9100\) টাকা।
\[ \therefore \text{সম্পূর্ণ (১ অংশ)} = \frac{9100\times8}{7} \text{ টাকা} \]
\[ \dfrac68 \text{ অংশের মূল্য} = \frac{9100\times8\times6}{7\times8} = 7800 \text{ টাকা} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন ৩২ কেজি এবং অর্ধেক তেল থাকাকালীন পাত্রের ওজন ২০ কেজি। পাত্রটির ওজন কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
পাত্র + পূর্ণ তেল \(=32\) কেজি ...(১)
পাত্র + অর্ধপূর্ণ তেল \(=20\) কেজি ...(২)
(১)-(২): অর্ধপূর্ণ তেল \(=32-20=12\) কেজি।
\[ \therefore \text{পাত্রের ওজন} = 20-12 = 8 \text{ কেজি} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
কোনো সম্পত্তির \(\dfrac78\) অংশের মূল্য ৯,২১২ টাকা। ঐ সম্পত্তির \(\dfrac68\) অংশের মূল্য কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
সম্পূর্ণ সম্পত্তি (১ অংশ) \(=\dfrac{8\times9212}{7}\) টাকা।
\[ \dfrac68 \text{ অংশের মূল্য} = \frac{8\times9212\times6}{7\times8} = 7{,}896 \text{ টাকা} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, ছাত্র সংখ্যা \(x\) জন। ৪ জন করে বসলে বেঞ্চের সংখ্যা \(\left(\dfrac{x}{4}+3\right)\)টি; ৩ জন করে বসলে বেঞ্চের সংখ্যা \(\left(\dfrac{x-6}{3}\right)\)টি — দুটোই একই ঘরের বেঞ্চ সংখ্যা।
\[ \frac{x}{4}+3 = \frac{x-6}{3} \ \Rightarrow\ \frac{x}{3}-\frac{x}{4} = 3+2=5 \]
\[ \frac{4x-3x}{12}=5 \ \Rightarrow\ x=60 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ৫ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৭ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, ছাত্র সংখ্যা \(x\) জন। ১ম ক্ষেত্রে মোট বেঞ্চ \(=\left(\dfrac{x}{5}+5\right)\)টি; ২য় ক্ষেত্রে মোট বেঞ্চ \(=\dfrac{x-7}{3}\)টি।
\[ \frac{x}{5}+5 = \frac{x-7}{3} \ \Rightarrow\ \frac{x+25}{5} = \frac{x-7}{3} \]
\[ 3x+75 = 5x-35 \ \Rightarrow\ 2x=110 \ \Rightarrow\ x=55 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি স্কুলের ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যার মধ্যে \(\dfrac56\) অংশ ছাত্র এবং বাকি অংশ ছাত্রী। যদি ছাত্রের সংখ্যা ছাত্রীদের সংখ্যা অপেক্ষা ১২০ জন বেশি হয়, তবে ছাত্রীর সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, মোট ছাত্র-ছাত্রী \(=x\) জন। ছাত্র \(=\dfrac{5x}{6}\) জন; ছাত্রী \(=x-\dfrac{5x}{6}=\dfrac{x}{6}\) জন।
\[ \frac{5x}{6}-\frac{x}{6} = 120 \ \Rightarrow\ \frac{4x}{6}=120 \ \Rightarrow\ x=180 \]
\[ \therefore \text{ছাত্রীর সংখ্যা} = \frac{180}{6} = 30 \text{ জন} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি বাঁশের \(\dfrac14\) অংশ কাদায়, \(\dfrac35\) অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ৩ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, বাঁশের দৈর্ঘ্য \(x\) মিটার। কাদায় \(=\dfrac{x}{4}\), পানিতে \(=\dfrac{3x}{5}\)।
\[ \frac{x}{4}+\frac{3x}{5}+3 = x \ \Rightarrow\ \frac{5x+12x+60}{20}=x \]
\[ 17x+60=20x \ \Rightarrow\ 3x=60 \ \Rightarrow\ x=20 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি খুঁটির \(\dfrac56\) অংশ কালো এবং বাকি অংশ সাদা। খুঁটির কালো ও সাদা অংশের দৈর্ঘ্য পার্থক্য ৬ মিটার হলে সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ধরি, খুঁটির দৈর্ঘ্য \(x\)। কালো অংশ \(=\dfrac{5x}{6}\); সাদা অংশ \(=x-\dfrac{5x}{6}=\dfrac{x}{6}\)।
\[ \frac{5x}{6}-\frac{x}{6} = 6 \ \Rightarrow\ \frac{4x}{6}=6 \ \Rightarrow\ x=9 \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি পাত্র \(\dfrac12\) অংশ ভর্তি আছে। যদি ৮ গ্যালন সরানো হয়, তবে \(\dfrac{1}{10}\) অংশ ভর্তি থাকে। পাত্রটি কত গ্যালন ধারণ করে?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ 8 \text{ গ্যালন} = \left(\frac12-\frac{1}{10}\right)\text{ অংশ} = \frac{5-1}{10} = \frac{4}{10} = \frac25 \text{ অংশ} \]
\[ \therefore \text{সম্পূর্ণ ধারণক্ষমতা} = \frac{8\times5}{2} = 20 \text{ গ্যালন} \] -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট?
ব্যাখ্যা দেখুন
প্রতিটি ভগ্নাংশকে ভাগ করে দশমিকে প্রকাশ করলে:
\[ \frac{2}{11}=0.1818\ldots,\ \frac{3}{11}=0.2727\ldots,\ \frac{2}{13}=0.1538\ldots,\ \frac{8}{15}=0.2666\ldots \]
সবচেয়ে ছোট মান \(\dfrac{2}{13}\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ \frac23\approx0.666,\quad \frac38=0.75,\quad \frac89\approx0.889,\quad \frac57\approx0.714 \]
সবচেয়ে বড় মান \(\dfrac{8}{9}\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ \frac13=0.333\ldots,\quad \sqrt{0.3}\approx0.5477,\quad \frac25=0.4 \]
এদের মধ্যে \(0.3\) সবচেয়ে ছোট এবং \(\sqrt{0.3}\approx0.5477\) সবচেয়ে বড়। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
কোন ভগ্নাংশটি \(\dfrac23\) থেকে বড়?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ \frac23\approx0.667 \]
\[ \frac{33}{50}=0.66,\quad \frac{8}{11}\approx0.727,\quad \frac35=0.6,\quad \frac{13}{27}\approx0.481 \]
এদের মধ্যে কেবল \(\dfrac{8}{11}\) \(\dfrac23\) থেকে বড়। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
নিচের কোনটি সবচেয়ে বড় সংখ্যা?
ব্যাখ্যা দেখুন
মূলের ভেতরের সংখ্যাগুলো তুলনা করলেই হয় (মূল চিহ্ন একঘেয়ে বর্ধনশীল):
\[ 0.03=\frac{3}{100},\ 0.3=\frac{3}{10},\ 0.003=\frac{3}{1000},\ 0.0003=\frac{3}{10000} \]
সবচেয়ে বড় \(0.3\), তাই \(\sqrt{0.3}\) সবচেয়ে বড়। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
কোন ভগ্নাংশটি \(\dfrac23\) থেকে বড়?
ব্যাখ্যা দেখুন
\[ \frac23\approx0.667 \]
\[ \frac{33}{50}=0.66,\quad \frac{8}{11}\approx0.727,\quad \frac35=0.6,\quad \frac{13}{27}\approx0.481 \]
এদের মধ্যে কেবল \(\dfrac{8}{11}\) \(\dfrac23\) থেকে বড়।