অনুপাত হলো একই জাতীয় দুটি রাশির তুলনা, আর সমানুপাত হলো দুটি অনুপাতের সমতা। বয়সের অনুপাত, টাকা ভাগ করা কিংবা মিশ্রণে কোনো উপাদান যোগ করা, সব অঙ্কেই এই অধ্যায়ের নিয়ম লাগে। ঐকিক নিয়মের মতো এখানেও মূল কৌশল হলো আগে এক অংশের মান বের করা।
অনুপাত কী
অনুপাত (Ratio): একই জাতীয় দুটি রাশির একটি অন্যটির কত গুণ বা কত অংশ, তা-ই অনুপাত। ৭ টাকা ও ৩ টাকার অনুপাত ৭ : ৩, যা \(\dfrac{7}{3}\) ভগ্নাংশের সমান।
- প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলে। ৭ : ৩-এ পূর্ব রাশি ৭, উত্তর রাশি ৩।
- অনুপাতের কোনো একক নেই।
- দুটি রাশিকে শূন্য ছাড়া একই সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অনুপাত বদলায় না, তাই ভগ্নাংশের মতো অনুপাতকেও লঘিষ্ঠ আকারে লেখা যায়: ৫০ : ৮০ = ৫ : ৮।
অনুপাতের প্রকার
- ব্যস্তানুপাত: পূর্ব ও উত্তর রাশি অদলবদল করলে পাওয়া যায়। ৫ : ৮-এর ব্যস্তানুপাত ৮ : ৫।
- মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত: কয়েকটি অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল : উত্তর রাশিগুলোর গুণফল। ৫ : ৭, ৩ : ৬ ও ২ : ৯-এর মিশ্র অনুপাত ৩০ : ৩৭৮ = ৫ : ৬৩।
- দ্বিগুণানুপাত: রাশি দুটির বর্গের অনুপাত। ৫ : ৪-এর দ্বিগুণানুপাত ২৫ : ১৬।
- দ্বিভাজিত অনুপাত: রাশি দুটির বর্গমূলের অনুপাত। ৩৬ : ৪৯-এর দ্বিভাজিত অনুপাত ৬ : ৭।
- ধারাবাহিক অনুপাত: ক : খ ও খ : গ জানা থাকলে ক : খ : গ। নিচের নিয়মে বের করুন।
ধারাবাহিক অনুপাত বের করার নিয়ম
নিয়ম
ক : খ = p : q এবং খ : গ = r : s হলে ক : খ : গ = pr : qr : qs, আর ক : গ = pr : qs।
যেমন, ক : খ = ২ : ৩ ও খ : গ = ৪ : ৫ হলে দুই অনুপাতে খ-কে সমান (১২) করে পাই ক : খ : গ = ৮ : ১২ : ১৫।
সমানুপাত ও ক্রমিক সমানুপাত
সমানুপাত (Proportion): চারটি রাশির প্রথম দুটির অনুপাত শেষ দুটির অনুপাতের সমান হলে, অর্থাৎ a : b = c : d হলে রাশিগুলো সমানুপাতী। যেমন, ৩ : ৯ = ৪ : ১২।
- a ও d প্রান্তীয় রাশি, b ও c মধ্য রাশি; প্রান্তীয় রাশি দুটির গুণফল = মধ্য রাশি দুটির গুণফল, অর্থাৎ ad = bc।
- d-কে a, b ও c-এর চতুর্থ সমানুপাতী বলে: \(d = \dfrac{bc}{a}\)।
- প্রতিটি অনুপাতের রাশি দুটি একই জাতীয় হতে হয়, কিন্তু চারটি রাশিকেই একই জাতীয় হতে হয় না।
- ক্রমিক সমানুপাত: a : b = b : c হলে a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী। তখন \(b^2 = ac\), আর b-কে a ও c-এর মধ্যসমানুপাতী বলে: \(b = \sqrt{ac}\)।
অনুপাতে ভাগ ও মিশ্রণ
- কোনো পরিমাণকে p : q : r অনুপাতে ভাগ করতে মোট অংশ (p + q + r) দিয়ে ভাগ করে এক অংশের মান বের করুন, তারপর প্রতিটি অংশ দিয়ে গুণ করুন।
- দুই অংশের পার্থক্য জানা থাকলে এক অংশ = পার্থক্য ÷ অংশসংখ্যার পার্থক্য। যেমন, ৭ : ৫ অনুপাতের দুটি সংখ্যার পার্থক্য ৬৬ হলে এক অংশ = ৬৬ ÷ ২ = ৩৩, আর সংখ্যা দুটি ২৩১ ও ১৬৫।
- মিশ্রণে একটি উপাদান যোগ করলে অন্য উপাদানের পরিমাণ বদলায় না। তাই যে উপাদান স্থির থাকে, তার পরিমাণ ধরে নতুন অনুপাত বসান।
সমাধানকৃত উদাহরণ
- ৩, ৯ ও ৪-এর চতুর্থ সমানুপাতী কত? উত্তর: ১২। ৩ : ৯ = ৪ : x ⇒ x = \(\dfrac{9 \times 4}{3} = 12\)।
- দুটি রাশির অনুপাত ৯ : ১৫। পূর্ব রাশি ৩৬ হলে উত্তর রাশি কত? উত্তর: ৬০। ৯ : ১৫ = ৩৬ : x ⇒ x = \(\dfrac{36 \times 15}{9} = 60\)।
- ৫ : ১৮, ৭ : ২ ও ৩ : ৬-এর মিশ্র অনুপাত কত? উত্তর: ৩৫ : ৭২। (৫ × ৭ × ৩) : (১৮ × ২ × ৬) = ১০৫ : ২১৬ = ৩৫ : ৭২।
- চারটি সমানুপাতী রাশির প্রান্তীয় রাশি দুটির গুণফল ৪৮ হলে মধ্য রাশি দুটির গুণফল কত? উত্তর: ৪৮। সমানুপাতে প্রান্তীয় রাশির গুণফল = মধ্য রাশির গুণফল।
- ৬০ মিটার লম্বা একটি রশিকে ৩ : ৭ : ১০ অনুপাতে ভাগ করলে দীর্ঘতম অংশটি কত মিটার? উত্তর: ৩০ মিটার। মোট অংশ ২০, এক অংশ ৩ মিটার; দীর্ঘতম = ১০ × ৩ = ৩০।
- করিম ও রহিমের নম্বরের অনুপাত ৩ : ৪ এবং রহিম ও মোহনের নম্বরের অনুপাত ৬ : ৭ হলে করিম ও মোহনের নম্বরের অনুপাত কত? উত্তর: ৯ : ১৪। রহিমকে দুই অনুপাতে ১২ করলে করিম : রহিম = ৯ : ১২ এবং রহিম : মোহন = ১২ : ১৪।
- একজন লোক মাসে ২০,০০০ টাকা আয় ও ১৮,০০০ টাকা ব্যয় করেন। ব্যয় ও সঞ্চয়ের অনুপাত কত? উত্তর: ৯ : ১। সঞ্চয় ২,০০০ টাকা; ১৮০০০ : ২০০০ = ৯ : ১।
- একটি শ্রেণিতে ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত ৯ : ৫। মোট শিক্ষার্থী ১০৫০ জন হলে ছাত্র কতজন? উত্তর: ৬৭৫ জন। মোট অংশ ১৪, এক অংশ ৭৫; ছাত্র = ৯ × ৭৫ = ৬৭৫।
- বনি, ডলি ও লিলির মধ্যে ১,২৬০ টাকা এমনভাবে ভাগ করা হলো যে ডলি ও লিলি সমান পায় এবং বনি পায় ডলির দ্বিগুণ। বনি কত পেল? উত্তর: ৬৩০ টাকা। অনুপাত ২ : ১ : ১, মোট অংশ ৪; এক অংশ ৩১৫, বনি ৬৩০।
- করিম ও রহিমের বেতনের অনুপাত ৭ : ৫, আর করিমের বেতন রহিমের চেয়ে ৪০০ টাকা বেশি। রহিমের বেতন কত? উত্তর: ১,০০০ টাকা। অংশের পার্থক্য ২ = ৪০০ টাকা, এক অংশ ২০০; রহিম = ৫ × ২০০।
- ক, খ ও গ-এর বেতনের অনুপাত ৭ : ৫ : ৩। খ যদি গ-এর চেয়ে ২২২ টাকা বেশি পায়, তবে ক-এর বেতন কত? উত্তর: ৭৭৭ টাকা। খ ও গ-এর অংশের পার্থক্য ২ = ২২২, এক অংশ ১১১; ক = ৭ × ১১১।
- ৩৫ লিটার দ্রবণে পানি ও সিরাপের অনুপাত ৩ : ৪। দ্রবণে কত লিটার সিরাপ আছে? উত্তর: ২০ লিটার। ৩৫ × \(\dfrac{4}{7}\) = ২০।
- ৪২ গ্রাম ওজনের একটি গয়নায় সোনা ও তামার অনুপাত ৪ : ৩। আর কত গ্রাম সোনা মেশালে অনুপাত ৫ : ৩ হবে? উত্তর: ৬ গ্রাম। সোনা ২৪ ও তামা ১৮ গ্রাম; তামা স্থির থাকে, তাই (২৪ + x) : ১৮ = ৫ : ৩ ⇒ ২৪ + x = ৩০ ⇒ x = ৬।
- ১৬ গ্রাম ওজনের একটি গয়নায় সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১। কত গ্রাম সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে? উত্তর: ৪ গ্রাম। সোনা ১২ ও তামা ৪ গ্রাম; (১২ + x) : ৪ = ৪ : ১ ⇒ x = ৪।
- ২৬১টি আম তিন ভাইয়ের মধ্যে \(\dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{5} : \dfrac{1}{9}\) অনুপাতে ভাগ করলে প্রথম ভাই কতটি পাবে? উত্তর: ১৩৫টি। হরগুলোর ল.সা.গু. ৪৫ দিয়ে গুণ করলে অনুপাত ১৫ : ৯ : ৫, মোট অংশ ২৯; এক অংশ ৯, প্রথম ভাই ১৫ × ৯ = ১৩৫।
- ১৬ : ২৫ অনুপাতের উভয় পদ থেকে কত বিয়োগ করলে অনুপাত ১ : ২ হবে? উত্তর: ৭। (১৬ − x) : (২৫ − x) = ১ : ২ ⇒ ৩২ − ২x = ২৫ − x ⇒ x = ৭।
- ২৪-কে ৭ : ৬ অনুপাতে বৃদ্ধি করলে নতুন সংখ্যা কত? উত্তর: ২৮। পুরনো : নতুন = ৬ : ৭, তাই নতুন সংখ্যা = ২৪ × \(\dfrac{7}{6}\) = ২৮।
- ৬০ লিটার মিশ্রণে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৭ : ৩। আর কত লিটার পেট্রোল মেশালে অনুপাত ৩ : ৭ হবে? উত্তর: ৮০ লিটার। কেরোসিন ৪২ লিটার স্থির থাকে; ৪২ : (১৮ + x) = ৩ : ৭ ⇒ ১৮ + x = ৯৮ ⇒ x = ৮০।
অনুশীলনী
নিচের প্রতিটি প্রশ্নের সঙ্গে ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা দেওয়া আছে।
কলেজ পর্যায়
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
a, b, c ক্রমিক সমানুপাতিক হলে নিচের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা দেখুন
ক্রমিক সমানুপাত মানে a : b = b : c, অর্থাৎ \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}\)।
আড়গুণন করলে \(b^2 = ac\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
ক : খ = ৪ : ৭, খ : গ = ১০ : ৭ হলে ক : খ : গ কত হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
খ-কে দুই অনুপাতে সমান (৭০) করি: ক : খ = ৪ : ৭ = ৪০ : ৭০ এবং খ : গ = ১০ : ৭ = ৭০ : ৪৯।
∴ ক : খ : গ = ৪০ : ৭০ : ৪৯। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
দুটি সংখ্যা অনুপাত ৭ : ৮ এবং তাদের ল. সা. গু. ২৮০ হলে সংখ্যা দুটির গ. সা. গু. কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
সংখ্যা দুটি 7x ও 8x; ৭ ও ৮ সহমৌলিক, তাই গ.সা.গু. x এবং ল.সা.গু. 56x।
56x = ২৮০ ⇒ x = ৫। ∴ গ.সা.গু. ৫ (সংখ্যা দুটি ৩৫ ও ৪০)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ, ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ১০ গুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
প্রথম শর্তেই বলা আছে পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের ৪ গুণ, তাই পিতা : পুত্র = ৪ : ১।
দ্বিতীয় শর্ত মিলিয়ে দেখা যায়: পুত্র x হলে 4x − ৬ = ১০(x − ৬) ⇒ x = ৯; পিতা ৩৬, পুত্র ৯, অনুপাত ৪ : ১। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
আখের রসে চিনি ও পানির অনুপাত 3 : 7 হলে, রসে কী পরিমাণ চিনি আছে?
ব্যাখ্যা দেখুন
মোট অংশ ৩ + ৭ = ১০, তার মধ্যে চিনি ৩ অংশ। ∴ চিনি \(\dfrac{3}{10} \times 100\) = ৩০ শতাংশ।
(৪২.৮৬% হলো চিনি ÷ পানি, যা ভুল হিসাব।) -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৪ ও ১৬ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
মধ্যসমানুপাতী \(= \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8\)।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
যদি সেল ফোনের পূর্বের কলরেট ও বর্তমান কলরেটের অনুপাত 5 : 3 হয়, তবে পূর্বের কলরেটের তুলনায় বর্তমান কলরেট শতকরা কত হ্রাস পেয়েছে?
ব্যাখ্যা দেখুন
পূর্বের রেট ৫ হলে বর্তমান ৩, হ্রাস ২।
শতকরা হ্রাস \(= \dfrac{2}{5} \times 100 = 40\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
অনুপাতের একক কোনটি?
ব্যাখ্যা দেখুন
অনুপাত একই জাতীয় দুটি রাশির তুলনা, তাই একক কেটে যায়। অনুপাতের কোনো একক নেই।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
এক ব্যক্তির মাসিক আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ৫ : ৩ এবং তাঁর মাসিক সঞ্চয় ১০,০০০ টাকা হলে তিনি কত টাকা আয় করেন?
ব্যাখ্যা দেখুন
সঞ্চয় = আয় − ব্যয় = ৫ − ৩ = ২ অংশ = ১০,০০০ টাকা, তাই এক অংশ ৫,০০০ টাকা।
∴ আয় = ৫ × ৫,০০০ = ২৫,০০০ টাকা। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
ধানে চাল ও তুষের অনুপাত 7 : 3 হলে এতে কি পরিমাণ চাল আছে?
ব্যাখ্যা দেখুন
মোট অংশ ৭ + ৩ = ১০, তার মধ্যে চাল ৭ অংশ। ∴ চাল \(\dfrac{7}{10} \times 100\) = ৭০ শতাংশ।
স্কুল পর্যায়
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ১। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত লিটার?
ব্যাখ্যা দেখুন
দুধ 5x ও পানি x লিটার হলে পার্থক্য 4x = ৮ ⇒ x = ২।
∴ পানি ২ লিটার (দুধ ১০ লিটার)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
ক : খ = ৪ : ৫ এবং খ : গ = ৭ : ৮ হলে ক : গ = কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ক : গ = \(\dfrac{4}{5} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{28}{40} = \dfrac{7}{10}\), অর্থাৎ ৭ : ১০।
(খ-কে দুই অনুপাতে ৩৫ করলে ক : খ = ২৮ : ৩৫ এবং খ : গ = ৩৫ : ৪০।) -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৯,৮০০ টাকা ২ : ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তর এবং ক্ষুদ্রতর অংশের পার্থক্য কত টাকা হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
মোট অংশ = ২ + ৩ + ৪ + ৫ = ১৪; এক অংশ = ৯৮০০ ÷ ১৪ = ৭০০ টাকা।
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = (৫ − ২) × ৭০০ = ২১০০ টাকা। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৩ ও ১২ হলে মধ্যসমানুপাতিক নির্ণয় কর।
ব্যাখ্যা দেখুন
ক্রমিক সমানুপাতে (মধ্য রাশি)² = ১ম রাশি × ৩য় রাশি = ৩ × ১২ = ৩৬।
∴ মধ্যসমানুপাতী = ৬। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
এক গ্লাস গুড়ের শরবতে গুড় ও পানির অনুপাত 4 : 6 হলে গুড়ের পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
মোট অংশ ৪ + ৬ = ১০, তার মধ্যে গুড় ৪ অংশ।
গুড়ের পরিমাণ = \(\dfrac{4}{10} \times 100 = 40\)%। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
a : b = 4 : 7 এবং b : c = 5 : 6 হলে এর a : b : c এর মান কোনটি?
ব্যাখ্যা দেখুন
b-কে দুই অনুপাতে সমান করতে প্রথমটিকে ৫ এবং দ্বিতীয়টিকে ৭ দিয়ে গুণ করুন: a : b = ২০ : ৩৫, b : c = ৩৫ : ৪২।
∴ a : b : c = ২০ : ৩৫ : ৪২। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে নিচের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা দেখুন
a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d}\)।
বিশেষ করে \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), আড়গুণন করলে ad = bc। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭ ও ২ বছর ছিল। ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
বর্তমানে মা ৩০ বছর ও মেয়ে ৫ বছর। ৫ বছর পর তাদের বয়স ৩৫ ও ১০ বছর।
∴ অনুপাত = ৩৫ : ১০ = ৭ : ২। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
a : b = 4 : 5 এবং b : c = 6 : 7 হলে a : b : c = ?
ব্যাখ্যা দেখুন
b-কে দুই অনুপাতে ৩০ করতে প্রথমটিকে ৬ এবং দ্বিতীয়টিকে ৫ দিয়ে গুণ করুন: a : b = ২৪ : ৩০, b : c = ৩০ : ৩৫।
∴ a : b : c = ২৪ : ৩০ : ৩৫। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৬০ লিটার পানি ও চিনির সংমিশ্রণের অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে আর কত লিটার চিনি মিশালে অনুপাত ৩ : ৭ হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
মিশ্রণে পানি = ৬০ × \(\dfrac{7}{10}\) = ৪২ লিটার, চিনি = ১৮ লিটার।
পানির পরিমাণ একই থাকবে, তাই ৪২ : (১৮ + x) = ৩ : ৭ ⇒ ১৮ + x = ৯৮ ⇒ x = ৮০ লিটার। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে, নিচের কোন সিদ্ধান্তটি সঠিক?
ব্যাখ্যা দেখুন
a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী মানে a : b = b : c, অর্থাৎ \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}\)।
আড়গুণন করলে \(b^2 = ac\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
x : y এর ব্যস্তানুপাত হবে-
ব্যাখ্যা দেখুন
কোনো অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি অদলবদল করলে ব্যস্তানুপাত পাওয়া যায়।
তাই x : y-এর ব্যস্তানুপাত y : x, যাকে \(\dfrac{1}{x} : \dfrac{1}{y}\) আকারেও লেখা যায়।
\(x^2 : y^2\) হলো দ্বিগুণানুপাত এবং \(\sqrt{x} : \sqrt{y}\) হলো দ্বিভাজিত অনুপাত। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
A : B = 3 : 4 এবং B : C = 6 : 5 হলে, A : C = কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
A : C = \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10}\), অর্থাৎ ৯ : ১০।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৪, \(4\dfrac{1}{2}\), ২ এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা দেখুন
চতুর্থ সমানুপাতী x হলে ৪ : \(4\dfrac{1}{2}\) = ২ : x।
∴ x = \(\dfrac{\frac{9}{2} \times 2}{4} = \dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4}\)। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৯ এবং ১৬ এর মধ্যসমানুপাতী কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
মধ্যসমানুপাতী = \(\sqrt{9 \times 16} = \sqrt{144} = 12\)।
স্কুল পর্যায়-২
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
দুটি সংখ্যার যোগফল, তাদের বিয়োগফলের দ্বিগুণ। সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
সংখ্যা দুটি a ও b হলে a + b = 2(a − b) ⇒ a + b = 2a − 2b ⇒ a = 3b।
∴ a : b = ৩ : ১। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
হীরার আয়ের ৩৫% হ্যাপীর আয়ের ২৫% এর সমান। তাদের আয়ের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
হীরার আয় × ৩৫ = হ্যাপীর আয় × ২৫।
∴ হীরার আয় : হ্যাপীর আয় = ২৫ : ৩৫ = ৫ : ৭। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
১.৫ এবং ১৩.৫ এর মধ্য সমানুপাতটি কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
মধ্যসমানুপাতী = \(\sqrt{1.5 \times 13.5} = \sqrt{20.25} = 4.5\)।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
a : b = 2 : 3 এবং b : c = 6 : 7 হলে a : c = কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
a : c = \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{6}{7} = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}\), অর্থাৎ ৪ : ৭।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৫ : ৭ এবং ৩ : ১৩ অনুপাতগুলোর ধারাবাহিক অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা দেখুন
ক : খ = ৫ : ৭ এবং খ : গ = ৩ : ১৩ ধরে খ-কে দুই অনুপাতে সমান করুন: প্রথমটিকে ৩ ও দ্বিতীয়টিকে ৭ দিয়ে গুণ করলে ক : খ = ১৫ : ২১ এবং খ : গ = ২১ : ৯১।
∴ ক : খ : গ = ১৫ : ২১ : ৯১। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৪, ৬, ৮ এর ৪র্থ সমানুপাতি কোনটি?
ব্যাখ্যা দেখুন
চতুর্থ সমানুপাতী = (২য় রাশি × ৩য় রাশি) ÷ ১ম রাশি = (৬ × ৮) ÷ ৪ = ১২।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৫৪ বছর এবং অনুপাত ৭ : ২। ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
মোট অংশ ৭ + ২ = ৯; এক অংশ = ৫৪ ÷ ৯ = ৬। পিতা ৪২ বছর, পুত্র ১২ বছর।
১০ বছর পরে তাদের বয়স ৫২ ও ২২ বছর।
∴ অনুপাত = ৫২ : ২২ = ২৬ : ১১। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৪, ৮ ও ১০ এর ৪র্থ সমানুপাতিক কোনটি?
ব্যাখ্যা দেখুন
চতুর্থ সমানুপাতী = (৮ × ১০) ÷ ৪ = ২০।
-
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
৩০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ৭ হবে?
ব্যাখ্যা দেখুন
এসিড = ৩০ × \(\dfrac{7}{10}\) = ২১ লিটার, পানি = ৯ লিটার।
এসিডের পরিমাণ একই থাকবে, তাই ২১ : (৯ + x) = ৩ : ৭ ⇒ ৯ + x = ৪৯ ⇒ x = ৪০ লিটার। -
গাণিতিক যুক্তি ও মানসিক দক্ষতা
২৫ : ৮১ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?
ব্যাখ্যা দেখুন
কোনো অনুপাতের রাশি দুটির বর্গমূল নিলে দ্বিভাজিত অনুপাত পাওয়া যায়।
২৫ : ৮১-এর দ্বিভাজিত অনুপাত = \(\sqrt{25} : \sqrt{81}\) = ৫ : ৯।